高数中微分中值定理的应用.pdf

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1、第22卷第1期河北建筑工程学院学报Vol.22No.12004年3月JOURNALOFHEBEIINSTITUTEOFARCHITECTURALENGINEERINGMarch2004高数中微分中值定理的应用霍玉珍张家口教育学院摘要中心问题是利用微分中值定理证明相关的命题,由此阐明微分中值定理在高等数学和初等数学方面的应用.关键词微分中值定理;应用中图号014罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒公式是微分学的基本定理,这些定理都具有中值性,所以,统称为微分学的中值定理.以拉格朗日中值定理为中心,他们

2、之间的关系可用简图示意:这几个定理在高等数学中有很多应用.1利用拉格朗日定理可以证明(1)函数严格单调的充分条件(利用导数符号来判定函数增减性);(2)判定函数极值的第一充分条件;(3)不定积分的表述等.例:(函数严格单调的充分条件):若函数f(x)在(a,b)可导,Px∈(a,b)有f'(x)>0,(或f'(x)<0),则函数f(x)在(a,b)严格增加(或严格减少).证明:Px1,x2∈(a,b)且x1

3、-x1)x1<ζ0x2-x1>0,从而f(x2)-f(x1)>0或f(x1)

4、即f'(x0)=0而f″(x0)≠0,则当f″(x0)>0时,x0是函数f(x)的极小点;当f″(x0)<0时,x0是函数f(x)的极大点;证明:将函数f(x)在x0展成泰勒公式(到二阶导数)f″(x0)22即:f(x0+h)-f(x0)+f'(x0)·h+·h+O(h)2!又已知f'(x0)=0,有-f″(x0)22f(x0+h)-f(x0)=·h+O(h)2!222上式等号右端第二项O(h)是h的高阶无穷小(h→0),即o(h)趋向于零的速度比等号右端第一项趋向于零的速度快得多,因此,当│h│充分小时,差

5、f(x0+h)-f(x0)的符号与上式等号右端第一项的符号相同,故当f″(x0)>0时,Ph:0<│h│<δ有f(x0+h)-f(x0)>0或f(x0+h)>f(x0)即x0是函数f(x)的极小点.当f″(x0)<0时,Ph:0<│h│<δ有f(x0+h)-f(x0)<0或f(x0+h)

6、)=0x→ax→af'(x)3)lim=lx→aΦ'(x)f(x)f'(x)则lim=lim=lx→aΦ(x)x→aΦ'(x)证明:将函数f(x)与Φ(x)在a作连续开拓,即:f(x)x≠aΦ(x)x≠af1(x)=,Φ1(x)=0x-a0x-aPx∈(a-δ,a+δ),x≠a函数f1(x)与Φ1(x)在[a,x]或[x,a]上满足柯西定理的条件,f1(x)-f1(a)f1'(cx)有=cx在a与x之间Φ1(x)-Φ1(a)Φ1'(cx)已知f1(a)=Φ1(a)=0第1期霍玉珍高数中微分中值定理的应用153

7、x≠a有f1(x)-f(x),Φ1(x)-Φ(x)cx≠a有f'1(cx)=f'(cx),Φ1'(cx)=Φ'(cx)f(x)f'(cx)从而=Φ(x)Φ'(cx)因为cx在x与a之间,所以,当x>a时,有cx>a.根据条件(3)有f(x)f'(cx)f'(x)lim=lim=lim=lx→aΦ(x)c→aΦ'(cx)x→aΦ'(x)x4利用微分中值定理求某些特殊形式的极限tan(tanx)-tan(sinx)例:求limx→0tanx-sinx解:令u=tanν,在以tanx,sinx为两个端点的区间内(当

8、x足够接近零时),u满足拉格朗日中值定理,且1tan(tanx)-tan(sinx)=2(tanx-sinx)cosξ其中ξ介于以tanx和sinx为端点的区间内,由于limtanx=limsinx=0x→ax→a有两边夹定理可知:limξ=0x→a11因此,原式=lim2=lim2=1x→acosξξ→0cosξ微分中值定理除了上述在高数中的应用外,在初等数学中也有广泛的应用.5证明方程根的存在性