高数)第3章微分中值定理与导数的应用.ppt

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1、第三章微分中值定理与导数的应用1微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理23几何解释:4证明:5几何解释:2.罗尔(Rolle)定理xOyCxaby=f(x)AB如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线平行于x轴。如果函数y

2、f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。6证由费马引理,7注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件(1)BxOyAabf(x)不满足条件(3)xOyABabf(x)不满足条件(2)xOyABabc8例1验证9例2不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条

3、件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。10如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：C2hxOyABaby=f(x)C1x3.拉格朗日(Lagrange)中值定理11证明作辅助函数12例313拉格朗日中值公式又称有限增量

4、公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：14推论1证明15推论2证明16例4证由推论1知,17例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证18例6证由上式得19例7证类似可证：特别，204.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：21xOyABf(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理

5、的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为22证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点x(a,b)，使作辅助函数23练习：P132习题3-16.改为:7.9.11.(2)改为:24证25第二节洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.26说明：27例1例2用洛必达法则求极限例题。28例3等价无穷小替换29例4例530例6或解：及时分离非零因子31例732例8

6、解极限不存在洛必达法则失效。例9不能使用洛必达法则。解33例10关键:将其它类型未定式化为或型未定式。步骤:34例11步骤:35步骤:例12对数恒等式36例13或解(重要极限法)：37例14解38第三节泰勒(Taylor)公式39不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计。40分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交41N阶接触42拉格朗日型余项43证明:444546说明:47麦克劳林(Maclaurin)公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式.拉格朗日型余项皮亚诺型余项48解近似公式误差其误差49解5051525354

7、55常用函数的麦克劳林公式56解57解58解利用泰勒展开式求极限59例6解60练习：P143习题3-31.3.5.7.10.61第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法62函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？63函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单调增加64定理65证应用拉格朗日定理,得66例1解例2解67例3解68例4解69例4解也可用列表的方式，70导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界

8、点．方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,y-2O2-4-224xy=x3驻点71例5证利用函数的单