高数)第3章：微分中值定理与导数的应用.ppt

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1、第三章微分中值定理与导数的应用1一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一节中值定理2微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理34几何解释:5证明:6右图，区间[a,b]上一条光滑曲线弧，且两端点处的函数值

2、相等，除区间端点外处处有不垂直于x轴的切线，在最高点和最低点处切线有何特点？观察与思考：7几何解释:2.罗尔(Rolle)定理xOyCxaby=f(x)AB如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线平行于x轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。8证由费马引理,9注意：如果定理的三个条件有一个不满足，

3、则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件(1)BxOyAabf(x)不满足条件(3)xOyABabf(x)不满足条件(2)xOyABabc10但它满足定理的三个条件，有水平切线yy=f(x)0x可能有同学会问，为什么不将条件(1)(2)合并为f(x)在[a,b]上可导？可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数，则显然x=0时，函数不可导，即不符合加强条件；11例1验证12例2不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解f(1)=f(2

4、)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。13★设且在内可导,证明至少存在一点使分析:要证即容易验证证在上满足罗尔定理条件.证明设由罗尔定理定理得.至少存在一个x,使得即从而14连续可微端点函数值相等★

5、分析:设函数内可导，证明15由罗尔定理,至少存在一点证16分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.17对于罗尔定理中的第三个条件很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定理的适用范围，要是能取消就好了。18观察与思考：连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等。f(x)？，f(h)？问题：直线AB的斜率k=？答案：f(x)f(h)k，C2hxOyABaby=f(x)C1xf(b)f(a)f(x)(ba)。f(b)f(a)？19三、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日

6、中值公式20几何意义：C2hxOyABaby=f(x)C1x注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉氏公式21证明作辅助函数22例323拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：24推论1证明25推论2证明26例4证由推论1知,27例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证28例6证由上式得29例7证类似可证：特别，304.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间

7、(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：31xOyABf(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为32证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点x(a,b)，使作辅助函数33练习：P132习题3-16.改为:7.9.11.(2)改为:34证35

8、第二节洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.36说明：37例.求解:原式注意:不是不定型不能用洛比达法则!机动目录上页下页返回结束38例.求解:原式思考:如何求(n为正整数)?机动目录上页下页返回结束39例等价无穷小替换思考：能不能直接洛必达法则？40例.求解:注意到～原式机动