高考数学总复习 第5章 第3节 等比数列及其前n项和课件 新人教A版.ppt

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1、第三节　等比数列及其前n项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．等比数列的相关概念a1qn－1b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．∵当b＝0时，a，c至少有一个为0，此时b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.1．(2011辽宁高考)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比

2、为()A．2B．4C．8D．16答案：B2．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12＝()A．32B．±64C．64D．256答案：C答案：B答案：155．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若数列{an}的前n项和Sn＝127，则n的值为______．答案：7等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，

3、在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．【思路点拨】【特别提醒】若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连

4、续三项不成等比即可．【活学活用】2.若将“cn＝an－1”改为“c1＝a1，且cn＝an－an－1(n≥2)”，试判断数列{cn}是否还是等比数列？1.等比数列的单调性设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}为递增数列；(2)当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}为递减数列；(3)当q＝1时，数列{an}是(非零)常数列；(4)当q＜0时，数列{an}是摆动数列．2．通项特征(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1可推广为an＝amqn－m

5、；(2)若m＋n＝p＋q＝2r，则aman＝apaq＝a(m，n，p，q，r∈N*)；(3)当{an}是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项之积．3．前n项和的性质设Sn是等比数列{an}的前n项和，则(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)；(2)当n是偶数时，S偶＝S奇·q；当n是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．【思路点拨】一方面可以考虑使用等比数列的性质求解；另一方面也可以

6、考虑使用等比数列的求和公式求解．【自主解答】解法一：利用等比数列的性质．由已知a1＋a2＋…＋an＝2，an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝12.注意到(a1＋a2＋…＋an)，(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)，(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)，(a3n＋1＋a3n＋2＋…＋a4n)，…也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为已知：【特别提醒】在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况进行求解．证明不等式问题的常用

7、方法有求差比较，分析、综合、放缩、数学归纳法等，本例中采用一步放缩、变形、裂项再求和的方法使问题简单明了，此处也是解决本例的关键所在．【思路点拨】(1)由已知构造Sn＋1与Sn＋1＋1之间关系即可证明．(2)由(1)求得Sn可求得an，从而得bn，利用放缩法裂项求和可得证．【规范解答】(1)∵Sn＋1＝3Sn＋2，∴Sn＋1＋1＝3(Sn＋1)．又∵S1＋1＝3，∴{Sn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列且Sn＝3n－1，n∈N*.4分错源：对数列的递推关系转换不当致误【纠错】(1)对递推式变换错误，在变换中方向不明确，

8、导致思维混乱；(2)对数列{cn}的通项的变换缺乏明确的思维方向，产生分拆错误、裂项错误．