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1、《比例线段》例题精讲与同步练习教案1一.知识要点： （一）比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a
2、:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． （二）比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质:或 (4)合比性质: (5)等比性质:且 (三)平行线分线段成比例定理 1.定理:三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。 4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 这四个定理主要
3、提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1):若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2):若DE//BC，则或或或 基本图形(3):若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若,,,,,之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB。 二.本讲内容所需要的计算与证明方法 计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。 2.会利用比例式建立方
4、程求线段的长。 证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。 三.例题 例1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值。 分析:题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k,转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。 解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k,b=5k,c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 例2:若,求的值。 解:设 则x=3k,y=4k,z=5k
5、 ∴ 说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。 例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。 分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。 解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形) 在□ABCD中,ADBC, ∵E为AB中点，∴AE=BE ∵AD//BC，∴∠AFE=∠H 在△AEF和△BEH中 在△AEF≌△BEH(AAS) ∴AF=BH ∵， 设AF=k,则FD=3k，AD=4k，BH=
6、AF=k，BC=AD=4K，CH=5K ∵AD//BC，即AF//HC ∴ ∴ 说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。 请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出。例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。 求证:EA:EC=BF:CF 分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由
7、平行得比例)。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。 证法一:过C作CH//AB交DF于H ∵CH//AB，即CH//BD ∴ 又CH//AD， ∵ ∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴ ∴（等比代换） 即EA:EC=BF:CF证法二:过C作CM//FD交AB于M ∵CM//FD ∴ ∵CM//ED ∴ ∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴ ∴EA:EC=BF:CF(等比代换) 说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式
