《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习

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1、12999数学网www.12999.com《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习本周的内容：因式分解综合训练一、本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。1.因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相乘法④最后考虑分组分解法2.三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。3.因式分解一定要彻底，

2、不可半途而废。4.因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：（x+y）（x+y）（x－y）应当写成（x+y）2（x－y）；如果有中括号应当去掉中括号……总之应当满足最简原则！二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些）例2分解因式：－2x3+4x2－10x解：原式=－2x（x2－2x+5）此题中公因式为－2x，因此括号中所有项均要变号例3分解因式：－7（m－n）3+21（n－m）2－28（n－m）3解：原式=7（n－m）3+21（n－m）2－28（n－m）3=7（n－m）2这里易

3、误把公因式当成（n－m）2=7（n－m）2（－3n+3m+3）这里产生了新的公因式：－3=－21（n－m）2（n－m－1）例4分解因式：－x2－4y2+4xy解：原式=－（x2－4xy+4y2）注意因式分解的思维顺序：先提公因式=－（x－2y）2例5分解因式：－3x7+24x5－48x3解：原式=－3x3（x4－8x2+16）先提公因式=－3x3（x2－4）2x4－8x2+16可用完全平方公式分解=－3x3x2－4还可以用平方差继续分解=－3x3（x+2）2（x－2）2例6分解因式：9m2－6m+1－n2解：原式

4、=（9m2－6m+1）－n2=（3m－1）2－n2=（3m+n－1）（3m－n－1）例7ax2+ay2－2axy－az2解：原式=a（x2+y2－2xy－z2）先提公因式=a[（x2+y2－2xy）－z2]四项式用分组分解法进行分解=a[（x－y）2－z2]=a（x－y+z）（x－y－z）12999数学网www.12999.com第-4-页共4页12999数学网www.12999.com例2若x2+y2－4x－6y+13=0，求x+y的值。此题要用到拆项的思想解：x2+y2－4x－6y+13没学过的同学可以不看=

5、（x2－4x+4）+（y2－6y+9）将13拆成两项4、9=（x－2）2+（y－3）2分别形成两个完全平方式∵（x－2）2+（y－3）2=0∴解得∴x+y=2+3=5例3分解因式：x2+xy－12y2解：原式=（x－3y）（x+4y）此题易错把结果写成（x－3）（x+4），所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母例4分解因式：x2－x－解：原式=（x－）（x+）此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分数，解题过程如下：解：原式=（6x2－x－1）=（2x－1）（3x+1）例5分解

6、因式：（x2－4x）2－2（x2－4x）－15解：原式=[（x2－4x）+3][（x2－4x）－5]把（x2－4x）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式=（x2－4x+3）（x2－4x－5）因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解=（x－1）（x－3）（x+1）（x－5）例6已知：a3+a2b+ab2+b3=20，a2+b2=10，求a+b解：∵a3+a2b+ab2+b3=a2（a+b）+b2（a+b）=（a+b）（a2+b2）∴a+b===2例7已知x4+4x2+3x+4有一个因式是x2+ax+

7、1，求a的值及另一个因式。解：设另一个因式为x2+bx+4想一想：为什么可以这样假设？则：x4+4x2+3x+4=（x2+ax+1）（x2+bx+4）=x4+（a+b）x3+（ab+5）x2+（4a+b）x+4∴解得：∴a=1，另一个因式是x2－x+412999数学网www.12999.com第-4-页共4页12999数学网www.12999.com一、练习题1、把下列各式分解因式：（1）x2－2x－63（2）a3－ab2－a+b（3）（x2+6）2－25x2（4）–x3y3+2x2y2–xy（5）a2+a+（6

8、）x4–2x2+1（7）a2–3a–ab+3b（8）y2–x2+6x–9（9）（x2+x）2–14（x2+x）+242、若mx2+19x－14有一个因式是x+7，求m的值和另一个因式。二、练习题解答1、（1）原式=（x+7）（x－9）（2）原式=（a3－ab2）－（a－b）=a（a2－b2）－（a－b）=a（a+b）（a－b）－（a－b）=（a－b）[a（a+b）－1]因