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1、第22讲 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线考点一三角形中位线的定义和性质考点二直角三角形斜边上的中线性质预学案·记易类型一三角形中位线的性质类型二直角三角形斜边上的中线性质命题点一三角形中位线的性质精讲案·学易试真题·练易命题点二直角三角形斜边上的中线性质考点一 三角形中位线的定义和性质定义:三角形两边中点之间的线段叫做三角形的中位线性质图形语言文字语言符号语言三角形的中位线平行并且等于第三边的一半∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC预学案·记易即学即练1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥C
2、B,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(A)A.24 B.18 C.12 D.9考点二 直角三角形斜边上的中线性质图形语言文字语言符号语言直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB特别提醒注意强调直角三角形.即学即练2.(2017益阳)如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD=6.5.精讲案·学易类型一 三角形中位线的性质例1(2018曲靖)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D、E分别是AB、BC的中点,连接DE
3、、CD,如果DE=,那么△ACD的周长是18.命题思路本题主要考查三角形的中位线的性质、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线的性质.失分警示判断△ABC是直角三角形是本题的解题关键.实战预测1.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6cm,BC=8cm,则EF的长为1cm.类型二 直角三角形斜边上的中线性质例2如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点,F为CD上的一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,则BE的长为A.命题思路本题主要考查三角形的中位线的性质、直角三角形
4、斜边上的中线的性质.失分警示判断DF是△ABE的中位线是本题的解题关键.实战预测2.(2018大庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.解(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点,∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC,∴BC=2DE,又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形.(2)由(1)可知DC=EF,DE=CF,∵DC是R
5、t△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC,∵四边形DCFE的周长为25cm,AC的长为5cm,∴BC=25-AB,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13cm.试真题·练易命题点一 三角形中位线的性质1.(2015昆明)如图,△ABC中,AB=8,D、E分别是BC、CA的中点,连接DE,则DE=4.2.(2014曲靖)如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕点E顺时针方向旋转180°,点D到了点F的位置,则S△ADE∶
6、S▱BCFD=(A)A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1命题点二 直角三角形斜边上的中线性质3.(2014昆明)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10cm,点D为AC的中点,则BD=5cm.探疑难·知易易错题如图所示,锐角△ABC中,BE,CF均为高,点M,N分别为BC,EF的中点.求证:MN⊥EF.证明连接FM、ME,∵BE、CF均是△ABC的高,∴△BCF与△BCE均是直角三角形,∵M是BC的中点,∴FM与EM分别是Rt△BCF与Rt△BCE斜边上的中线,∴FM=EM=BC,∴△MEF是等腰三角形,∵N
7、是EF的中点,∴MN是EF上的中线,∴MN⊥EF.错解证明∠MNF=90°或∠MNE=90°.误区鉴定连接FM、ME,判断△MEF是等腰三角形是解题的关键.当堂巩固如图所示,AB,CD交于点E,AD=AE,CE=BC,F,G,H分别是DE,BE,AC的中点.求证:∠HFG=∠FGH.证明连接CG,∵AD=AE,F是DE的中点,∴AF是等腰△ADE底边DE上的中线,∴AF⊥DE,同理CG⊥AB,∴△ACF与△ACG均是直角三角形,∵H是AC的中点,∴HF、GH分别是△ACF与△ACG斜边上的中线,∴FH=GH=AC,∴△HFG是等腰三角形,∴∠HFG=∠F
8、GH.
