理论力学(第5章)ppt课件.ppt

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1、第五章分析力学分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的目的是为了用数学方法解决复杂的力学问题，后来的研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍的性质，掌握这些对今后的学习很重要。这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。§5.2虚功原理§5.1约束与广义坐标第五章分析力学§5.3拉格朗日方程§5.4小振动§5.5哈密顿正则方程§

2、5.6泊松括号和泊松定理※§5.9哈密顿-雅科比理论§5.7哈密顿原理§5.8正则变换※§5.10相积分与角变数※§5.11刘维定理一、几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：§5.1约束与广义坐标一群质点的集合称为力学体系力学体系中存在的限制质点位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。几何约束方程的一般形式为不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。为几何约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为二、稳定（定常）约束与不稳定（非定常）约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件

3、随时间变化的约束称为非定常约束。其约束方程为非定常约束方程的一般形式为三、双面约束与单面约束同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面（不可解）约束。只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面（可解）约束。其约束方程的一般形式为四、完整约束与非完整约束几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。约束的分类小结稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束）几何约束运动约束（微分约束）可积不可积非完整约束2.广义坐标若n个质点的体系受k

4、个几何约束此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为3n-k=s例双摆广义坐标:自由度s=2广义坐标在给定的约束条件下用来确定力学系统位置的一组独立变量在完整系中，广义坐标的数目与自由度的数目相等，是确定系统的最小变量数对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，而广义坐标的选择不是惟一的广义坐标一般用q符号表示，若系统有s个自由度，就有s个广义坐标q1，q2，q3,…,qs可缩写为qα,α=1,2,…,s或直角坐标与广义坐标的变换关系xyRθ例一质点约束在半径为R的圆周上运动自由度s=1,以θ为广义坐标虚位移它是所有想象中可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。由于没有时间变

5、化实位移和虚位移的区别:在任意的t时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。§5.2虚功原理实位移1.实位移和虚位移实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虚位移纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的条件下具有任意性。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以有虚位移求虚位移之间的关系例如椭圆规机构如图，坐标有约束方程对上式进行变分运算得设某质点受力作用，并

6、给该质点一个虚位移，则力在虚位移上所作的功称为虚功，即或显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。2.理想约束理想约束：力学体系上的所有约束反力的虚功之和为零引入虚位移可以消去这些约束反力常见的理想约束有：支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。稳定平衡不稳定平衡受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是所有主动力的虚功之和等于零。3.虚功原理当力学体系处于平衡时，对i第个质点有虚功原理的广义坐标表示：广义平衡方程:广义力例均质杆OA，重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端，用铰链连另一

7、重P2、长为l2的均质杆AB，在AB杆的B端加一水平力F.求平衡时此二杆与水平线所成的角度α及β.解：本问题有2个自由度，取α，β为广义坐标主动力为P1，P2，F由虚功原理β代入解主动力W由虚功原理得[例]半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为yxoWαrC例图示机构中，已知OA=AB=l，，如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力与的大小之间的关系。解：以系统为研