相似图形提高讲义

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1、第四章相似图形能力提高篇线段的比、黄金分割及形状相同的图形知识要点◆要点1线段的比(1)线段的比:在同一单位下,两条线的长度的比叫做这两条线段的比。(2)成比例线段:四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段成比例线段,当b=c时,有,称b为a与d的比例中项。(3)比例尺:比例尺=图上距离:实际距离★说明:判断四条线段是否成比例,首先要把四条线段的单位化成同一单位,再计算它们的比值来判断,要注意它们的顺序。◆要点2比例的性质a.比例的基本性质:b.合比性质:(两边都加1或减1)c.等比性质:如果,那么。XS—02XS—01

2、◆要点3黄金分割概念:若点C把线段AB分成两条线段AC、BC(AC>BC),若,我们称线段AB被点C黄金分割,C点为该条线段的黄金分割点,较短线段与较长线段(或较长线段与原线段)的比叫做黄金比。★说明:(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比,没有单位;(2)一条线段黄金分割后,原线段、较长线段、较短线段有其固定关系:若AB=1,11(3)作一条线的黄金分割点一般有两种方法,如右图XS—01、XS—02:XS—01◆要点4形状相同的图形(1)所谓形状相同的图形,实际上就是形状相同,大小、位置不一定相同的图形,全等形是特殊的形状相同的图形。

3、它包括三维空间的所有正方体,所有的球体。(2)将图形放大或缩小,只需将每个点的坐标都扩大或缩小相同的倍数,若在方格纸内,则将每条线段横跨或纵跨的方格数都扩大或缩小相同的倍数即可。★说明:(1)形状相同的图形的对应角相等,对应边成比例,图形的大小可以相同也可以不同;(2)将图形放大或缩小一般有两种方法:一是橡皮筋法,二是直角坐标系法.相似多边形相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形◆要点1各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。★说明:(1)相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质,又可

4、以看作相似多边形的判定;(2)判定相似的两个条件,一个是各角对应相等,另一个是各边对应成比例;二者缺一不可。相似三角形◆要点2三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。★说明:(1)相似三角形的各角对应相等,各边对应成比例;(2)两个三角形的相似比为1时,这两个三角形就是全等三角形,故全等三角形是相似三角形的特殊情况;(3)△ABC与△A/B/C/相似和△ABC∽△A/B/C/的含义有所不同,前者没有指明这两个相似三角形的对应关系,而后者表明了对应关系。◆要点3三角形相似的判别方法(1)判别方法1:两角对应相等的两个三角形相似;(2)判

5、别方法2:三边对应成比例的两个三角形相似;(3)判别方法3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。●引申直角三角形除了具有以上3种判别方法,还有以下方法:①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似;②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。★说明:(1)相似三角形判定的三种判别方法中,“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意,必须是夹“角”的两边对应成比例;(2)要找准对应边,一般对应角所对的边是对应边,最长的边或最短的边是对应边,公共边一般不是对应边。在找对应角时,公共角、对顶角一般是对应角。11相似形的应用、相似多边形

6、的性质、图形的放大与缩小知识要点XS—27XS—29XS—28◆要点1测量旗杆高度的三种方法:(1)方法1:利用阳光下的影子(如图XS—27)(还可利用结论:同一时刻:);(2)方法2:利用标杆;(如图XS—28,本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直,故三者平行,由此构造相似三角形)(3)方法3:利用镜子反射(如图XS—29,本方法用镜面反射,由反射角等于入射角,人与被测旗杆与地面垂直)★说明:在测量旗杆高度的三种方法中,都是利用三角形相似的知识解决,根据实际情况,构造相似三角形,通过测量三角形的边,利用对应边成比例计算出要求的目标。◆要点2相

7、似三角形与相似多边形的性质相似三角形的性质:(1)相似三角形对应高的比等于相似比;(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比;(3)相似三角形对应中线的比等于相似比;(4)相似三角形周长的比等于相似比;(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。★说明:这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质:(1)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;(2)相似多边形中,对应的三角形相似,相似比等于原多边形的相似比。11◆要点3位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形。

8、每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中,只有一个位似中

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