第1章-行列式ppt课件.ppt

《第1章-行列式ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.1第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用2第1.1节n阶行列式的定义返回教学目的：掌握二、三阶、n阶行列式定义，排列及其逆序数概念，转置行列式定义。教学重点：n阶行列式定义，排列及其逆序数概念。教学难点：n阶行列式定义，排列的逆序数求法。31.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：4上式中的分

2、子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：称其为二阶行列式.据此，解中的分子可分别记为：5例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有惟一解.又于是方程组的解为6(2)三阶行列式称为三阶行列式.‘—’三元素乘积取“+”号；‘…’三元素乘积取“-”号。主对角线法7例2计算三阶行列式解:由主对角线法，有8例3解线性方程组解：系数行列式方程组有惟一解.又于是方程组的解为9思考与练习（三阶行列式）1.方程化简为(x-1)2=4,其解为x=3或x=-1；答案102.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n组成的一个有

3、序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.11(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反，即is>it(t>s)，则称这两数构成一个逆序。排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为(i1i2…in)。奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列。=3=2例4(2413)(312)例5

4、(n(n-1)…321)(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)12对换：在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例6结论：①对换改变排列的奇偶性.②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一系列对换互变.13①的证明对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序

5、的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为…kji1…is…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.

6、

7、14思考练习（排列的逆序数）1.(542163)2.(24…(2n-2)(2n)

8、(2n-1)(2n-3)…31）答案1.92.1+3+...+(2n-1)=n215思考练习（排列的逆序数）1.(542163)(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）2.若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xnxn-1…x1的逆序数.答案详解继续16思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s

9、即17方法2n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即183.n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3！=619推广之，有如下n阶行列式定义定义：n阶行列式是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号的

10、项的和.(i)是取自不同行、不同列的n