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1、线性代数主讲人：陈君第二章方阵的行列式行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法.机动目录上页下页返回结束第二章教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理.教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.教学时间：6学时
2、.机动目录上页下页返回结束用消元法求解，得：当时，求得方程组有唯一解：§1阶行列式的定义1、 二元线性方程组1.1n阶行列式的引出引入二阶行列式方程组的解可以写成：机动目录上页下页返回结束例1解二元线性方程组解由于机动目录上页下页返回结束2.三元线性方程组用消元法可求得，当时，三元线性方程组有唯一解：其中：三阶行列式的定义机动目录上页下页返回结束7例2解三元线性方程组解由于所以，方程组的解为，，.3.n元线性方程组构造：机动目录上页下页返回结束提出三个问题（1）D=？（怎么算）？（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是机动目录上页下页
3、返回结束1.2全排列及其逆序数1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321.一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：机动目录上页下页返回结束2.逆序数对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）.于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序
4、与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数.逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列.3.逆序数的计算方法不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设p1,p2,…,pn为这n个自然数的一个n级排列，考虑元素pi(i=1,2,…，n)，如果比pi大的，且排在pi前面的元素有ti个，则说这个元素的逆序是ti个，全体元素逆序之和即是p1,p2,…,pn的逆序数，即例如，设排列32514,其逆序数为：t=1+3+0+1+0=5.当我们把上面排列改为31524，相当于把32514这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列
5、中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）.通过计算可知31524的逆序数为t=1+2+0+1+0=4.可见排列32514为奇排列，而31524为偶排列，由此得一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.机动目录上页下页返回结束1.3n阶行列式值的定义定义1.1设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式
6、A
7、的值为也可记为:作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项（称为行列式的一个均布项），其中p1,p2,…,pn为自然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数.这样的排列共有n!个，所有这些项的
8、代数和即为n阶行列式的值.机动目录上页下页返回结束行列式的另一种定义形式为:同理，也可以定义为:机动目录上页下页返回结束1.4几种特殊的行列式（1）对角行列式机动目录上页下页返回结束（2）下（上）三角行列式机动目录上页下页返回结束（3）其中，机动目录上页下页返回结束证记D=det(dij)，其中dij=aiji=1,2,…,m；j=1,2,…,n.dm+i,m+j=biji=1,2,…,m；j=1,2,…,n.在行列式中任取一个均布项由于当i≤m，j>m时，dij=0，因此r1,r2,…,rm只有在1,…,m中选取时，该均布项才可能不为0，而当r1,r2,…,rm在1,…,m中选
9、取时，rm+1,…,rm+n只能在m+1,…,m+n中选取.于是D中可能不为0的均布项可以记为这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2…pm(m+q1)…(m+qn)的逆序数.以t，s分别表示排列p1p2…pm及q1q2…qn的逆序数，应有l=t+s，于是=D1D2.小结1、深刻理解行列式的定义.2、熟记行列式3个特殊的公式.作业：第2章标准化作业
