行列式的概念(1).ppt

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1、在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为线性的和非线性的两大类。线性代数主要是研究线性函数，把问题化为求解线性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以计算的高阶线性代数方程组的解可以很快地算出来，这就促进了线性代数的广泛应用和发展。行列式和矩阵是讨论和解线性方程组的重要工具。10.1n阶行列式1.1二阶行列式设二元线性方程组为1.二、三阶行列式用消元法求得,当时,可得该方程组的惟一解化为定义1规定式并称该式左端为二阶行列式,右端为二阶行列式的展开式aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为

2、列．其中i为行标，j为列标。=3×5－2×4例1计算下列行列式解原式=解原式=15－8=７1.2三阶行列式定义2定义用32个数组成的记号“对角线法”例2计算下列三阶行列式：练习（书P233）1.3余子式和代数余子式行列式中，将元素aij所在的行与列划掉，剩余的元素保持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素aij的余子式，记为Mij,定义元素aij的代数余子式为如，三阶行列式的代数余子式，练习：求下列行列式的代数余子式（1）（2）解：解：2.１、４阶行列式定义3阶行列式已经定义，规定4阶行列式2、n阶行列式通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展

3、开解因为a12=a13=0所以由定义2.2、n阶行列式一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，……，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列式的定义：定义设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式其中A1j=(-1)1+jM1j(j=1,2,………n)这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式．例4计算行列式(下三角行列式).解由定义，将Dn按第一行展开，得行列式D与它的转

4、置行列式DT的值相等．如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和．3、行列式的性质性质1性质2如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD．也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值

5、等于零．“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2…n)．性质3性质4推论性质5如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等．由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（r）代表行，（c）代表列．2.把第i行（或第i列）的每一个元素加上第j行（或第j列）对应元素的k倍，记作（ri）+k（rj）[或（ci）+k（cj）]．3.互换i行（列）和j行（列），记作（ri）↔（rj）[或（ci）↔

6、（cj）]．性质604320-1-11044700-1600011行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1,2,…,n）．行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,i≠j）．例８按第三行展开计算行列式性质7推论例9：求四阶行列式中元素的余子式和代数余子式，并计算行列式的值。本堂课主要内容1.二、三阶行列式2.n阶行列式3.行列式的性质