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1、§2行列式的性质与计算教学目的：通过本节的教学使学生掌握n阶行列式的性质，并会用性质计算行列式.教学要求：理解行列式的性质，用性质计算行列式.教学重点：n阶行列式的性质.教学难点：n阶行列式的性质的证明.有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦.当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质及其计算方法.一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式
2、.记证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,于是则有即当时,当时,例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有故证毕性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式
3、为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算阶行列式解将第都加到第一列得思考题记行列式则方程的根的个数为（）例3证明证明补充说明例4解思考题1四阶行列式的值等于（）(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列
4、式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质例如一、余子式与代数余子式第六节行列式按行（列）展开在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如证当位于第一行第一列时,即有又从而在证一般情形,此时得得中的余子式故得于是有定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代
5、数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则例1推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例2设4阶行列式的第2列元素为2,m,k,3，第2列元素的余子式依次为－1,1,－1,1，第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2，且该行列式的值为1，求m,k的值.解根据公式有由于第2列元素的代数余子式依次为－1,－1,－1,－1，第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2，从而有即故m=-4,k=-2.证用数学归纳法例2证
6、明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式方法点评：范德蒙行列式可以作为结论在今后直接使用。方法点评：涉及自然数命题的可以使用数学归纳法。方法点评：1三角化法；2加边法；3用展开公式法。注意加边法的使用方法点评：1递推法；2三角化法；3数学归纳法；对于这一类三对角线行列式通常可以用递推法求解。解（递推法）将Dn按第一行展开，得到Dn－1．Dn－2表示Dn的式子．即Dn＝（α+β)Dn－1－αβDn－2＝αDn－1+βDn－1－αβDn－2所以Dn－αDn－1＝β(Dn－1－
7、αDn－2)＝βn-2(D2－αD1)又因为D2＝(α+β)2－αβ，D1＝α+β．所以，Dn－αDn－1＝βn再由对称性，Dn－βDn－1＝αn当α≠β时,将上两式的两边分别乘以β、α,然后相减得当α＝β时，对Dn－αDn－1＝αn使用递推法Dn＝αn+αDn－1＝αn+α［αn－1+αDn－2］＝2αn+α2Dn－2＝…＝(n－2)αn+αn－2D2＝(n－2)αn+αn－23α2＝(n+1)αn．19(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用
8、方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质4.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
