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1、角形中的最值问题--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第42课三角形中的最值问题考点提要1.掌握三角形的概念与基本性质.2.能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数,解决三角形中的最值问题.基础自测1.(1)△ABC中,cosA33sinA,
2、则A的值为30°或90°;(2)△ABC中,当A=时,cosA2cosBC取得最大值3.3222.在△ABC中,sinA:sinB:sinCm:(m1):2m,则m的取值范围是m1.2解由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m,令amk,b(m1)k,c2mk,由abc,acb,得m1.23.锐角三角形ABC中,若A=2B,则B的取值范围是30o<B<45o.4.设R,r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径,则r的最大值R为21.5.在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c,若b23ac,则B的取值范围是0<°B≤1
3、20°.6.在△ABC中,若A>B,则下列不等式中,正确的为①②④.①sinA>sinB;②cosAsin2B;④cos2ABa>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB,故①正确;2cosAB,故②正确(或由余22弦函数在(0,)上的单调性知②正确);由cos2AsinBA>B,故④正确.知识梳理1.直角△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c,C=90°,若内切圆的半径为r,则rabc.22.在
4、三角形中,勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础,起到工具性的作用.它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用.例题解析例1已知直角三角形的周长为1,求其面积的最大值.3点评例2已知△ABC中,a1,b2.(1)求最小内角的最大值;(2)若△ABC是锐角三角形,求第三边c的取值范围.12c,解(1)由三角形三边关系得第三边c满足2c1,解得1c3,故最小1c2,内角为A.又cosAb2c2a2c231(c3)≥12c33(当且仅2bc4c4c4c2当c3时等号成立),所以A≤30°,即最小内角的最大值为3
5、0°.(2)因为△ABC是锐角三角形,即A,B,C三个角均为锐角,又因为a<b,所以A<B,故只需说明B,C为锐角即可.406、4x2,2ABBC4x4x代入上式得SABC=x1(4x2)2128(x212)2,4x16由三角形三边关系有2xx2,解得222x222,22x,x故当x212,x23时SABC取最大值12822.16点评例4如图,已知∠A=30°,P,Q分别在∠A的两边上,PQ=2.当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?并求出△APQ的最大面积.5点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.uuuruuuruuur例5已知△ABC的周长为6,7、BC8、,9、CA10、,11、AB12、成等比13、数列,求:(1)△ABC的面积S的最大值;(2)BABC的取值范围.uuuruuuruuur解设14、BC15、,16、CA17、,18、AB19、依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac.由bac≤ac6b得0b≤2(当且仅当a=c时,等号成立),22又由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac≥2acac1(当且2ac2ac2ac2仅当a=c时,等号成立),故有0B≤,1acsinB1b2sinB≤13(1)S22sin3,即S3(当且仅2223max当a=b=c时,等号成立);(2)BABCaccosBa2c2b2(ac)22acb222(6b)23b2(b3)220、27.2Q0b≤2,uuuruuur18.2≤BABC6点评本题运用均值定理进行
6、4x2,2ABBC4x4x代入上式得SABC=x1(4x2)2128(x212)2,4x16由三角形三边关系有2xx2,解得222x222,22x,x故当x212,x23时SABC取最大值12822.16点评例4如图,已知∠A=30°,P,Q分别在∠A的两边上,PQ=2.当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?并求出△APQ的最大面积.5点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.uuuruuuruuur例5已知△ABC的周长为6,
7、BC
8、,
9、CA
10、,
11、AB
12、成等比
13、数列,求:(1)△ABC的面积S的最大值;(2)BABC的取值范围.uuuruuuruuur解设
14、BC
15、,
16、CA
17、,
18、AB
19、依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac.由bac≤ac6b得0b≤2(当且仅当a=c时,等号成立),22又由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac≥2acac1(当且2ac2ac2ac2仅当a=c时,等号成立),故有0B≤,1acsinB1b2sinB≤13(1)S22sin3,即S3(当且仅2223max当a=b=c时,等号成立);(2)BABCaccosBa2c2b2(ac)22acb222(6b)23b2(b3)2
20、27.2Q0b≤2,uuuruuur18.2≤BABC6点评本题运用均值定理进行
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