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1、角形中的最值问题--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第42课三角形中的最值问题考点提要1.掌握三角形的概念与基本性质.2.能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数,解决三角形中的最值问题.基础自测1.(1)△ABC中
2、,cosA33sinA,则A的值为30°或90°;BC3(2)△ABC中,当A=时,cosA2cos取得最大值.3222.在△ABC中,sinA:sinB:sinCm:(m1):2m,则m的取值范围是1m.2解由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m,1令amk,b(m1)k,c2mk,由abc,acb,得m.23.锐角三角形ABC中,若A=2B,则B的取值范围是30o<B<45o.r4.设R,r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径,则的最大值R为21.25.在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,
3、b,c,若b3ac,则B的取值范围是0<°B≤120°.6.在△ABC中,若A>B,则下列不等式中,正确的为①②④.①sinA>sinB;②cosAsin2B;④cos2ABa>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB,故①正确;2cosAB,故②正确(或由余22弦函数在(0,)上的单调性知②正确);22由cos2AsinBA>B,故④正确.知识梳理1.直角△ABC中,内角A,B,C所对边的边
4、长分别是a,b,c,C=90°,若abc内切圆的半径为r,则r.22.在三角形中,勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础,起到工具性的作用.它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用.例题解析例1已知直角三角形的周长为1,求其面积的最大值.3点评例2已知△ABC中,a1,b2.(1)求最小内角的最大值;(2)若△ABC是锐角三角形,求第三边c的取值范围.12c,解(1)由三角形三边关系得第三边c满足2c1,解得1c3,故最小1c2,内角为A.2222bcac313133又cosA(
5、c)≥2c(当且仅2bc4c4c4c2当c3时等号成立),所以A≤30°,即最小内角的最大值为30°.(2)因为△ABC是锐角三角形,即A,B,C三个角均为锐角,又因为a<b,所以A<B,故只需说明B,C为锐角即可.421c401,06、=2x.12根据面积公式得SABC=ABBCsinBx1cosB,2222222ABBCAC4x2x4x根据余弦定理得cosB,2ABBC4x4x2224x2128(x12)代入上式得SABC=x1(),4x162xx2,由三角形三边关系有解得222x222,x22x,2128故当x12,x23时SABC取最大值22.16点评例4如图,已知∠A=30°,P,Q分别在∠A的两边上,PQ=2.当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?并求出△APQ的最大面积.5点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和7、基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.uuuruuuruuur例5已知△ABC的周长为6,8、BC9、,10、CA11、,12、AB13、成等比数列,求:(1)△ABC的面积S的最大值;(2)BABC的取值范围.uuuruuuruuur2解设14、BC15、,16、CA17、,18、AB19、依次为a,b,c,则a+b+c=6,b=ac.ac6b由bac≤得0b≤2(当且仅当a=c时,等号成立),2222222acbacac2acac1又由余弦定理得cosB≥(当且2ac2ac2ac2仅当a=c时,等号成立),故有0B≤,311212(1)SacsinB20、bsinB≤2sin3,即S3(当且仅max2223当a=b=c时,等号成立);22222acb(ac)2acb(2)BABCaccosB2222(6b)3b2(b3)27.2uuuruuurQ0b≤2,2≤BABC18.6点评本题运用均值定理进行
6、=2x.12根据面积公式得SABC=ABBCsinBx1cosB,2222222ABBCAC4x2x4x根据余弦定理得cosB,2ABBC4x4x2224x2128(x12)代入上式得SABC=x1(),4x162xx2,由三角形三边关系有解得222x222,x22x,2128故当x12,x23时SABC取最大值22.16点评例4如图,已知∠A=30°,P,Q分别在∠A的两边上,PQ=2.当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?并求出△APQ的最大面积.5点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和
7、基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.uuuruuuruuur例5已知△ABC的周长为6,
8、BC
9、,
10、CA
11、,
12、AB
13、成等比数列,求:(1)△ABC的面积S的最大值;(2)BABC的取值范围.uuuruuuruuur2解设
14、BC
15、,
16、CA
17、,
18、AB
19、依次为a,b,c,则a+b+c=6,b=ac.ac6b由bac≤得0b≤2(当且仅当a=c时,等号成立),2222222acbacac2acac1又由余弦定理得cosB≥(当且2ac2ac2ac2仅当a=c时,等号成立),故有0B≤,311212(1)SacsinB
20、bsinB≤2sin3,即S3(当且仅max2223当a=b=c时,等号成立);22222acb(ac)2acb(2)BABCaccosB2222(6b)3b2(b3)27.2uuuruuurQ0b≤2,2≤BABC18.6点评本题运用均值定理进行
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