角形中的最值问题.pdf

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1、角形中的最值问题--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第42课三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC中

2、，cosA33sinA，则A的值为30°或90°；BC3（2）△ABC中，当A=时，cosA2cos取得最大值．3222．在△ABC中，sinA:sinB:sinCm:(m1):2m，则m的取值范围是1m．2解由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m，1令amk,b(m1)k,c2mk，由abc,acb，得m．23．锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是30o＜B＜45o．r4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则的最大值R为21．25．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,

3、b,c，若b3ac，则B的取值范围是0＜°B≤120°．6．在△ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为①②④．①sinA>sinB；②cosAsin2B；④cos2ABa>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB，故①正确；2cosAB，故②正确（或由余22弦函数在(0,)上的单调性知②正确）；22由cos2AsinBA>B，故④正确．知识梳理1．直角△ABC中，内角A，B，C所对边的边

4、长分别是a,b,c，C=90°，若abc内切圆的半径为r，则r．22．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．3点评例2已知△ABC中，a1,b2．（1）求最小内角的最大值；（2）若△ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围．12c,解（1）由三角形三边关系得第三边c满足2c1,解得1c3，故最小1c2,内角为A．2222bcac313133又cosA(

5、c)≥2c（当且仅2bc4c4c4c2当c3时等号成立），所以A≤30°，即最小内角的最大值为30°．（2）因为△ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．421c401,0

6、＝2x．12根据面积公式得SABC=ABBCsinBx1cosB，2222222ABBCAC4x2x4x根据余弦定理得cosB，2ABBC4x4x2224x2128(x12)代入上式得SABC=x1()，4x162xx2,由三角形三边关系有解得222x222，x22x,2128故当x12,x23时SABC取最大值22．16点评例4如图，已知∠A=30°，P，Q分别在∠A的两边上，PQ=2．当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？并求出△APQ的最大面积．5点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和

7、基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．uuuruuuruuur例5已知△ABC的周长为6，

8、BC

9、,

10、CA

11、,

12、AB

13、成等比数列，求：（1）△ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围．uuuruuuruuur2解设

14、BC

15、,

16、CA

17、,

18、AB

19、依次为a，b，c，则a+b+c=6，b=ac．ac6b由bac≤得0b≤2（当且仅当a=c时，等号成立），2222222acbacac2acac1又由余弦定理得cosB≥（当且2ac2ac2ac2仅当a=c时，等号成立），故有0B≤，311212（1）SacsinB

20、bsinB≤2sin3，即S3（当且仅max2223当a=b=c时，等号成立）；22222acb(ac)2acb（2）BABCaccosB2222(6b)3b2(b3)27．2uuuruuurQ0b≤2,2≤BABC18．6点评本题运用均值定理进行