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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2.不等式:①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。一、最小值问题BALC图1B'例1.如图4，已知正方形的边长是8，
2、M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。AD//M解:作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM,交AC于N，N连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。BC∵CD=BC=8,DM=2,∴MC=6,图422在Rt△BCM中,BM=86=10,A∴DN+MN的最小值是10。B0例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=30,BMNOP是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是//解:作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P，则PA+PB
3、最短。/连OB，OA,0A∵∠AMN=30,B是弧AN的中点，/0B∴∠BOA=30,根据对称性可知E/0/0MN∴∠NOA=60,∴∠MOA=90,OP//在Rt△ABO中，OA=OB=1,A//∴AB=2即PA+PB=21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例3.如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。解:作点E关于直线y=x的对称点M，y连MD交直线y=x于P，连PE
4、，y=x21则PE+PD最短；即PE+PD=MD。Ox-4-3-2-11234∵E(-1,-4),∴M(-4,-1),M-1NP过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N，-2-3则MN⊥ND,又∵D(1,-3),则N(1,-1),DE-422在Rt△MND中,MN=5,ND=2,∴MD=52=29。图6∴最小值是29。练习1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达
5、蜂蜜的最短距离为▲cm．【答案】15。【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。2222在Rt△BCD中，由勾股定理得BCDCBD91215。∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6、⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值．∵正方形ABCD的边长是4，∴AD=4，∠DAC=45°，在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，2∴DF=AD?sin45°=4×=222故答案为23.（2009?陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BACC＝45°，∠BAC的平分线交BC
7、于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是______．DM//解:过B作关于AD的对称点B,则B在AC上，////AB且AB=AB=4,MB=MB,BMN最短，即为BH最短。N/BC/在Rt△AHB中，//∠BAH＝45°，AB=4，MD/∴BH=4,∴BM＋MN的最小值是4.ABNH4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为，解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=1
8、80°﹣120°=60°，/作点P关于直线BD的对称点P′，连接PQ，PC，/则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，/当点Q与点C重合，CP⊥AB时PK+QK的值最小，/在Rt△BCP中，∵BC=AB=2，∠B=60°，/∴CP=BC?sinB=2×=．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
