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《赏析解三角形中的最值问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、?热点追踪?形式．２角的范围例２(２０１６年江苏卷)在锐角△ABC中,sinA＝２sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是．◇山东王娓娓任秀丽方法１由sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC,得sinBcosC＋cosBsinC＝三角形中的范围与最值问题是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题,它不仅要用到三角变２sinBsinC,两边同除以cosBcosC,得tanB＋换,正、余弦定理,往往还涉及利用基本不等式等求函tanC＝２tanBtanC．故数值域的方法．现就以教学过程中遇到的该类问题与tanAtanBtanC＝－t
2、an(B＋C)tanBtanC＝２大家共同分享、探讨．tanB＋tanC?tanBtanC＝－２(tanBtanC)－．１－tanBtanC１－tanBtanC１边的范围令tanBtanC＝x,由△ABC为锐角三角形,可例１(２０１８年江苏卷)在△ABC中,角A、B、知tanAtanBtanC＞０,所以１－tanBtanC＜０,即C所对的边分别为a、b、c,∠ABC＝１２０°,∠ABC的x＞１,所以平分线交AC于点D,且BD＝１,则４a＋c的最小值２２２x２xtanAtanBtanC＝－＝＝为．１－xx－１２１１２(x－１)＋２２方法１由acsin１２０°＝a
3、sin６０°＋x－１＝２(x＋１)＋x－１＝２２１１１２csin６０°,得ac＝a＋c,即＋＝１,所以２(x－１)＋x－１＋４≥８,２ac１１当且仅当x＝２,即tanA＝４,tanB＝２－２,tanC＝４a＋c＝(＋)(４a＋c)＝ac２＋２或tanB＝２＋２,tanC＝２－２时等号成立．c４ac４a２x２４＋１＋＋≥５＋２?＝９,方法２由方法１,得tanAtanBtanC＝＝acacx－１当且仅当c４a,即a＝３,c＝３时等号成立．２２１１＝＝≥８,当且仅当＝,ac２１１１１１x２)２－２－(－＋答案为９．xxx２４方法２在△ABD中,由正弦定理,得x＝２,
4、即tanA＝４,tanB＝２－２,tanC＝２＋２或cAD＝,①tanB＝２＋２,tanC＝２－２时等号成立．sin∠ADBsin６０°由余弦定理,得AD２２３面积的范围＝c＋１－c．在△BCD中,由正弦定理,得例３在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,aCD１＝,②b,c,且sinCcosB＋sinB＝sinA．(１)求C;(２)若sin∠BDCsin６０°２由余弦定理,得CD２２＝a＋１－a．c＝２,求△ABC面积的最大值．因为sin∠ADB＝sin∠BDC,所以由式①、②得方法１(１)由正弦定理及sinCcosB＋２２２ADcADc＋１－cc１１＝,
5、所以２＝２＝２,化简,得sinB＝sinA,得ccosB＋b＝a,所以CDaCDa＋１－aa２２ac＝a＋c．１a－b２２２以下同方法１．２a＋c－bcosB＝,又cosB＝,所以方法１从面积关系入手,思路清晰、过程简c２ac洁．方法２虽然相对烦琐,但却是学生容易想１２２２a－ba＋c－b２到的思路,如果熟知三角形角平分线的性质,只需运,化简得a２２２＝＋b－c＝ab,所以２acc用两次余弦定理即可．两种方法殊途同归,最终找到１πa,c的关系,将所求最值转化为可利用均值不等式的cosC＝,C＝．２３１９?热点追踪?１３(２)因为S△ABC＝absinC＝ab,
6、所以△ABC２４面积的最大时,即ab取得最大值．由余弦定理c２＝２２２２２２a＋b－２abcosC,得a＋b－ab＝４．由a＋b≥２ab,得２ab－ab≤４,即ab≤４,当且仅当a＝b时,取等号．所以△ABC面积的最大值为３．方法２(１)由射影定理知ccosB＋bcosC＝a,１对照已知条件知sinCcosB＋sinB＝sinA,即◇山东李志边２１１,C＝π教材是我们学习的主要载体,也是高考命题的重ccosB＋b＝a,可得cosC＝．２２３要依据,教材中的例题和习题都具有典型性和代表(２)因为S１３性,对其进行深入探究可有效提升学生分析问题和解△ABC＝abs
7、inC＝ab,所以△ABC２４决问题的能力．本文以教材中一道向量习题为例,进行面积的最大时,即ab取得最大值．由正弦定理,得探究,以期抛砖引玉．c２４３２π＝＝＝２R,B＝－A,例１(人教B版«必修４»)已知A、B是直线lsinCπ３３sin上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上任意一３→→→２１６２π点P,存在实数t,使OP＝(１－t)OA＋tOB．故ab＝４RsinAsinB＝sinAsin(－A)＝３３证明如图１,因为点A、B、１６３１P在直线l上,由向量共线定理,sinA(cosA＋sinA)＝→→３２２可知存在常数t,使AP＝tAB．→→→→８３
8、１４因为AP＝OP－OA,AB＝(si
