解分式最值问题的代换策略.pdf

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1、6中等数学解分式最值问题的代换策略蔡小雄(浙江省杭州市第二中学,310053)(本讲适合高中)c(s-c)+≥2s-1分式最值问题是数学竞赛中的热点问s-cZ2题,也是难点问题,如2002年、2005年全国联(c-s+s)≥0,赛中的二试第二题均为此类问题.本文结合s1故g(a,b,c)≤=一些典型例题向读者介绍一种解决这类问题2s-12-1s的非常有效的方法———代换法.≤1k=.1　减元代换2-12k-1k对于多元最值问题,通过适当代换进行当b=0,c=k-k,a=k,即减元是解决问题、突破难点的一项重要策略.nx1

2、=k,xi=0(i=2,3,⋯,n-1),xn=k-k例1设x1,x2,⋯,xn≥0且∑xi≥k,时,上式等号成立.i=1因此,f(x1,x2,⋯,xn)的最大值为k(k≥1)为正常数.求nk.x1∑xi2k-1i=1f(x1,x2,⋯,xn)=n-1评注:本题在解答过程中进行了两次代2∑xi+xn换,使原问题从n元过渡到三元,又从三元i=1的最大值.过渡到二元,减元思想可谓落实得淋漓尽致.n-1讲解:设a=x1,b=∑xi,c=xn,则2　参数代换i=2a、b、c≥0,a+b+c≥k.至此,原函数从n有些分式最值问题可

3、通过引进参数,使元减少到三元,即有原来较难处理的问题得以巧妙过渡.f(x1,x2,⋯,xn)例2设x、y、z是不全为零的实数.求xy+2yzaa+b+c△222的最大值.=2g(a,b,c).x+y+z(a+b)+c讲解:对分子或分母直接运用均值不等令s=a+b+c,则s≥k.于是,式显然达不到目标,为此,先引入参数a、basg(a,b,c)=2作为待定系数进行代换,再运用均值不等式(s-c)+c进行处理.(s-c)ss≤2=.xy+2yz(s-c)+cc(s-c)+s-ca11=2xy+2(by)z22ab注意到≤a2

4、12212x+y+by+z　　收稿日期:2006-12-15　修回日期:2007-04-3022ab2007年第7期7=ax2+1+by2+1z2.∏[(y+z)(2x+y+z)]22ab=222xyza114令=+b=.(2yz·4x2yz)22ab≥∏22225xyz解得a=5,b=.45(8233)∏xyz=222=512.5222xyz所以,xy+2yz≤(x+y+z).2矛盾.当且仅当10x=25y=5z时,上式等号所以,x+y+z≥1.成立.因此,当a=b=c时,所求最小值为1.xy+2yz5评注:通过整体代

5、换将原问题转化为条故222的最大值为.x+y+z2件最值问题,即在评注:参数代换是一种“欲擒故纵”的策111略2-12-12-1=512,引进参数表面看好象增加了变量,而实际xyz上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.成立的条件下,求x+y+z的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行3　整体代换证明.例3　对所有a、b、c∈R+,求4　分母代换abc++222a+8bcb+8acc+8ab一般地,当一个分式的分子较简而分母的最小值.相对复杂时,通过对分母进行代换可以使解讲解:作代换题思路变得更顺畅.ab例4　

6、已知a、b、c∈R+.求x=,y=,22a+8bcb+8acab9c++cb+3c8c+4a3a+2bz=.2c+8ab的最小值.则x、y、z∈(0,+∞).讲解:对分母进行代换.令22a18bcb+3c=x,8c+4a=y,3a+2b=z.从而,x=2,即2-1=2.a+8bcxa111则a=-x+y+z,18ac18ab386同理,2-1=2,2-1=2.ybzc131b=x-y+z,将以上三式相乘得21641111112-12-12-1=512.c=6x+16y-12z.xyz如果x+y+z<1,则故a+b+9cb

7、+3c8c+4a3a+2b0222式①≥×4+×6+×12-xyz8616488中等数学47为了利用柯西不等式,注意到=.48nn当且仅当y=2x,z=3x时,上式等号成∑(2-ai)=2n-∑ai=2n-1,i=1i=1立.n1则(2n-1)∑因此,当a=10c,b=21c时,所求最小i

8、=12-ainn471值为48.=∑(2-ai)·∑i=1i=12-ai评注:对于分子与分母均为齐次的分式n212最值问题,一般最易想到的是运用柯西不等≥∑2-ai·=n.i=12-ai式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分22n因此,y+n≥,即母代换是比较明智的选择.2n-122nn5　常数代换y≥-n=.2n