一次分式函数最值问题

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1、拆分函数解析式结构，巧解问题--------------函数值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题1

2、】：求函数的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：1、将函数分解为反比例的结构；2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。【解析】：原函数可化为，，，函数值域为；【例题2】：求函数的值域；【思路切入】：由例1的结构拆分法，我们不难得到函数的反比例结构。但由于函数有附加定义域，所以在例1方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：（一）数形结合法：1、将函数分解为反比例的结构；32、根据反比例结构特性，画出

3、函数图像示意；3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。（二）代数法：1、利用变换，将用表示；2、利用给定的函数定义域（的取值范围）建立关于的不等式；3、解关于的不等式，得到函数值域。【解析】：解法一：函数拆分变化为，画出函数示意图：观察内的曲线形状得当时，，当时，；所以，函数的值域是。解法二：函数变形为，由函数定义域可得，解之得，所以，函数的值域是。进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数类值域（最值）问题的变化在于：1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：

4、在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；33、反比例函数结构的变化，有两种：图像在一、三象限，图像在二、四象限。如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。【落实提高】：1、求函数的值域；答案：2、求函数的值域；答案：3、求函数的值

5、域；答案：4、函数，求函数的值域；答案：3