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时间：2018-11-21
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1、第42课三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC中，，则A的值为30°或90°；（2）△ABC中，当A=时，取得最大值．2．在△ABC中，，则的取值范围是． 解由， 令，由，得．3．锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是30º＜B＜45º．4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则的最大值为．5．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是，若，则B的取值范围是0°＜B≤120°．6．在△ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为①②④．①>；②
2、<；③>；④<．解A>B>>>，故①正确；<B，故②正确（或由余弦函数在上的单调性知②正确）；由<<>A>B，故④正确．知识梳理1．直角△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是，C=90°，若10内切圆的半径为r，则．2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评10例2已知△ABC中，．（1）求最小内角的最大值；（2）若△ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围．解（1）由三角形三边关系得第
3、三边c满足解得，故最小内角为A．又（当且仅当时等号成立），所以A≤30°，即最小内角的最大值为30°．（2）因为△ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．由B，C为锐角得即解得．点评在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A为锐角”．例3（2008江苏）求满足条件的△ABC的面积的最大值．解设BC＝，则AC＝．根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=，由三角形三边关系有解得，故当时取最大值．点评10例4如图，已知∠A=30°，P，Q分别在∠A的两边上，PQ=
4、2．当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？并求出△APQ的最大面积．点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5已知△ABC的周长为6，成等比数列，求：（1）△ABC的面积S的最大值；（2）的取值范围．解设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac．由得（当且仅当a=c时，等号成立），又由余弦定理得（当且仅当a=c时，等号成立），故有，（1），即（当且仅当a=b=c时，等号成立）；（2）．10．点评本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题
5、．方法总结1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．练习42三角形的最值问题班级姓名学号1．若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是．2．在锐角△ABC中，若，则的取值范围是（，）．解，而，．3．在△ABC中，若，则A的取值范围是0º＜B≤45º．4．若2、3、x分别是锐角三角形
6、的三边长，则x的取值范围是．5．若三角形两边之和为16cm，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是，周长的最小值是24．6．已知△ABC中，A=60°，BC=4，则AB+AC的最大值为______．7．钝角三角形的三边为，其中最大角不超过120°，则的取值范围是．解由题意钝角三角形中，为最大边且最大角不超过120°，因此得①，②，10③，由①得，②得，③得≤或≥，故≤．8．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=9，S△COD=16，则四边形面积的最小值是49．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连
7、接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为cm2．解由题意可围成以下几种三角形．图（1）中，，；图（2）中，，；图（3）中，，．比较10上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为cm2．点评当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC中，已知．（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围．解11．如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD
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