知名机构高中讲义[20170920][必修五第12讲均值不等式]情景导入(2).docx

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1、第12讲均值不等式本课采用探究式学习方法，以学生为主题，探讨几何中的数量关系，从而得到不等式的大小比较.下面是本课的情景创设.1.问题刻画ab基本不等式ab的几何背景：如图是在北京召开的2第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2.合作探究问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关）问题2：:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那

2、么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：a2b2，a2b2问题3：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2ab问题4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2b22ab。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab结论：（板书）一般地，对于任意实数a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。问题5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明:a2b22ab(ab)2,当ab时，(ab)20

3、,当ab时,(ab)20,所以a2b22ab注意强调当且仅当ab时,a2b22ab特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成abab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推导：两个正数的算术平均数不小于它2ab们的几何平均数ab23.揭示问题在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB，即ＣD＝ab.这个圆的半径为ab，显然

4、，它大于或等于CD，即abab，22其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式abab几何意义是“半径不小于半弦”24.评述如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定2理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.