知名机构高中讲义[20170920][必修五第12讲均值不等式]情景导入.pdf

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1、第12讲均值不等式本课采用探究式学习方法，以学生为主题，探讨几何中的数量关系，从而得到不等式的大小比较.下面是本课的情景创设.1.问题刻画基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2.合作探究问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关）问题2：:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，问题3：那4个直角三角形的面

2、积和呢？生答：问题4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立。问题5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明:所以注意强调当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.揭示问题在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个

3、图形得出基本不等式的几何解释吗？2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB，即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”4.评述如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.