2020高考数学（理）计数原理、概率统计专题03 二项式定理（解析版）.docx

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1、计数原理03二项式定理【考点讲解】一、具体目标：二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．二、知识概述：1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的

2、系数C(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1.C＝C＋C.(2)C＝C.(3)n是偶数时，项的二项式系数最大；n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)C＋C＋C＋…＋C＝2n.3.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.4.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可

3、以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.5.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.6.解题技巧与方法总结(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈

4、R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.7.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．【温馨提示】二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．8.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项

5、，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.【真题分析】1.【2019全国III理4】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24【解析】的展开式中的系数为．故选A．【答案】A2．【2017新课标Ⅰ】展开式中的系数为（）A．15B．20C．30D．35【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C．【答案】C3．【2017新课标Ⅲ】的展开式中的系数为（）A．80B．40C．40D．

6、80【解析】的展开式的通项公式为：，当时，展开式中的系数为，当时，展开式中的系数为，[来源:学#科#网Z#X#X#K]所以的系数为．选C． 【答案】C4．【2016年四川】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）A．－15B．15C．－20D．20【解析】通项，令，得含的项为，故选A．【答案】A5.【2015全国1理10】的展开式中，的系数为（）.A．10B．20C．30D．60[来源:学科网ZXXK]【解析】．展开式中含的项为：，而中含的项为，所以的系数为.故选C．【答案】C6.【2015湖北理3】已知的展开式中第4项与第

7、8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A．B．C．D．【解析】由条件知，得.奇数项的二项式系数和为.故选D.【答案】D7.【2019浙江13】在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.[来源:学。科。网Z。X。X。K]【解析】二项式的展开式的通项为．由，得常数项是；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是5个．【答案】58.（2019天津理10）是展开式中的常数项为.【解析】由题意，可知此二项式的展开式的通项为．所以当，即时，为常数项，

8、此时．【答案】289．【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【解析】本题要结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数就可以了，结合题意可得，令，得到，所以的系数为.【答案】10．(2018浙江)二项式的展开式的常数项是___________．【解析】，令，解