椭圆相关角最值.doc

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1、椭圆相关角的最值张留杰圆锥曲线中的最值问题主要包括长度最值、角度最值及面积最值等，本文结合05年浙江省高考试题谈谈椭圆相关角度的最值问题。1.试题及解答题目如图1，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。（05年浙江卷第17题）图1解：（1）设椭圆方程为半焦距为c，则由题意，得解得故椭圆方程为（2）设当时，当时，所以只需求的最大值即可。直线的斜率直线的斜率所以当且仅当时，最大。所以最大值点Q的坐标为显然，本题第二问是考查和椭圆有

2、关的角度最值问题，可联想椭圆中的两种特殊情况。2.特殊情况（1）已知椭圆的两个焦点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。图2解：如图2，设准线交x轴于点M则又所以（其中）于是（当且仅当时等号成立）故的最大值为此时点P的坐标为同理，当点P在右准线时的最大值不变，最小值均为0另外由可得，当椭圆的离心率e一定时，的最大值为定值；若给出的值时，可由求出椭圆的离心率e的范围。（2）已知椭圆的两个顶点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。图3可用与问题（1）类似的方法求解（如图3）：（当且仅当时等号成立。）证明过程请读者自己完成。3.推广及本质前面分别研究了椭

3、圆准线上任意一点P到两焦点、两顶点所得张角的最值问题，05年浙江卷的第17题是将准线推广到非准线位置，通过问题（1）的解决方法不难看出这类问题其实就是一个平面几何中的最值问题，如图4，A、B是直线同侧两定点，且直线，点P为直线上一动点，则∠APB有最大值。使∠APB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，当点P在直线上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线的关系是相交或相切，当圆O与直线相交时，（如图5），上总存在点Q在圆内且使∠AQB＞∠APB；当且仅当圆O与直线相切时（如图6），直线上除切点外，其

4、余点均在圆O外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系可知，此时∠APB最大，切点即为所求。能否将条件一般化呢？如果直线与直线AB不垂直呢？用同样的方法可得，当过三点A、B、P的圆与直线相切时，∠APB的值最大（如图7），切点为所求的最大值点，我们可以根据解析几何中直线与圆的位置关系，求出相应的切点坐标以及∠APB的最大值。图7于是有：结论过定直线上任意一点P，与直线同侧两个定点A、B所得张角的范围是，其中θ为过三点A、B、P的圆和定直线的切点处的张角。当A、B两点在直线的异侧时，∠APB的最大值为，无最小值。根据所得结论，我们不难得出上述高考试题的简捷解法：另解

5、：设所求点Q的坐标为因为y轴垂直平分所以过三点P、的圆的圆心必在y轴上由平面几何知识得：当且仅当圆与直线相切时，最大，切点即为所求点Q。因为轴所以此时圆心坐标为由同圆的半径相等可得：所以故当时，最大，所求最大值点Q的坐标为