椭圆中的最值问题

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1、椭圆中的最值问题邢志平本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。1.几何化方向画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。例1.已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使

2、AP

3、+2

4、BP

5、最小，则P点坐标为___________。解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。因为，所以。由椭圆第二定义，知，即，所以，这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以P点坐标为。例2.已知椭圆

6、上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R，求

7、PQ

8、+

9、PR

10、的最大值。解如图1，连结PF1、PF2及F1R、F2Q，所以得到△PRF1及△PQF2，根据题意可知，圆心恰好为椭圆的两个焦点。在三角形中

11、PR

12、<

13、PF1

14、+

15、F1R

16、，

17、RQ

18、<

19、PF2

20、+

21、F2Q

22、，所以，即。当P、F1、R与P、F2、Q都共线时，，所以

23、PQ

24、+

25、PR

26、的最大值是6。在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。2.代数化方向先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。例3.若以椭圆上一点和

27、两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。解在椭圆上取一点P（x，y），。当P点在短轴顶点时，

28、y

29、最大为b，所以。又，所以。先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。例4.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为，即。设M（x，y

30、）是椭圆上任意一点，且，于是，有由于，于是转化为在闭区间，求二次函数的最值问题，从“轴定区间动”的规律知若时，则，所以，此方程的解不满足。若，则，所以，解得，因此，所求的椭圆方程为，M点的坐标为（0，－1）。本题利用了二次函数闭区间的最值问题的讨论。3.三角化方向求出目标函数的三角函数表达式，利用三角函数求值域。例5.设实数x，y满足，则x+y的最大值____________。解因为x，y满足椭圆方程，所以可设，于是，。所以，。例6.已知椭圆，取B（0，）及另外动点P，若以BP为边作正△BPQ，当P变动时，求△BPQ面积的最大值

31、。分析联想椭圆的参数方程，构建面积S的函数方程，进而利用三角函数求最值。解在椭圆为椭圆的短轴顶点，设P（），则，，所以，所以当，即P（0，）时，。根据题目的特点，选择简洁的方法。有时，各种方法结合起来，则会更快捷。［练习］1.P是椭圆上的点，F1、F2为焦点，则

32、PF1

33、·

34、PF2

35、的最大值是______。2.过原点的直线与椭圆=1（a>b>0）相交于A、B两点，若F（c，0）是椭圆的右焦点，则△FAB的最大面积为（）A.b2B.bcC.acD.ab3.设点P在圆上移动，点Q在椭圆上移动，求

36、PQ

37、的最大值及相应的点Q的坐标。