椭圆中的最值问题

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1、3椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为，最短的直径为；（2）椭圆中最长的焦点弦为，最短的焦点弦为通径（）；（3）椭圆中最大的焦半径为，最小的焦半径为；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为，最小值为；二．椭圆中常见角的最值设点为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角的最大值为，且，的最大值为；的最大值为；例1．为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题设为平面内一动点，、为两定点，则当且仅当点在线段上时取得最小值；图1当且仅当点在线段（或）的延长线时取等号．图2例2．（1）已知点，点，点在轴上移动，使得最小

2、，则点的坐标为．（2）已知椭圆的右焦点为，，点在椭圆上，则的最小值是；的最大值是．3例3．已知椭圆内有一点，为右焦点，在椭圆上有一动点，则的最大值为，最小值为．四．平面内一动点到一定点和定直线的距离之和的最小值问题设为平面内一动点，为定直线外的一定点，为到的距离，为到的距离，则的最小值为．例4．已知定点，为椭圆的左焦点，点为上的动点，则的最小值为．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题、是直线同侧两定点，且直线，点为直线上一动点，则有最大值．使最大的点有何几何意义呢？由于点、是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点、、的圆，（如图5、6）当点在直线上运动时，过三点、、的

3、圆与直线的关系是相交或相切，当圆与直线相交时，上总存在点在圆内且使；当且仅当圆与直线相切时，直线上除切点外，其余点均在圆外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时最大，切点即为所求．3例5．是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，求的最大值．（）解法2：因为当过、三点的圆与准线相切时，最大，由切割线定理得，故六．当直线与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线的距离有最大（小）值的点方法1：设，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值；方法2：设与平行的直线系——与椭圆方程联立消元——令——得出与平行的椭圆的两条切线、——求出与、与的距离即为所求．例6．设是椭圆的右焦点，以为圆心，为半径的圆

4、与椭圆相交于A、B两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于M、N两点，O为原点，求△MON面积的最大值．练习1．（）已知点P是抛物线上的动点，点P在轴上的射影是M，点A的坐标为，则的最小值是（A）（B）4（C）（D）5练习2．已知抛物线和一点，在抛物线上求一点，使得此点到点与到焦点的距离之和最小．