椭圆中的最值问题.doc

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1、椭圆中的最值问题例1.已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。   分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。　　   解：由题设知   设点，则有化简得   由椭圆的几何性质知   利用得，   解得   点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120

2、°。练一练：   直线总有公共点，试求m的取值范围。答案：例2.已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A（4，1），P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。   分析：如图2所示，设右焦点为C，式子

3、PF

4、+

5、PA

6、涉及到了焦半径

7、PF

8、，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。　　　　　　　　　　图2   解：设椭圆的右焦点为C   则   （当点P在线段AC的延长线上时取“=”），所以=。   说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长

9、加上这个定点到另一焦点的距离。