资源描述：
《二次函数值域问题探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、二次函数值域问题探讨摘要： 二次函数的值域问题是高中数学的重点问题之一，也是高考的热门考点之一，学生能否透彻的理解这一问题，对学生学好数学，掌握数形结合的重要思想，有着很大的帮助。本文针对这一问题，从数形结合入手，逐步扩展，帮助学生理解掌握这一知识要点，让其能够运用这一方法解决一些二次函数与其他函数复合的问题。关键词：二次函数的图象、对称轴、最值、复合正文： “函数”是中学数学的十分重要的内容，其思想、方法、观点贯穿着整一个高中阶段，因而学好函数，对学好高中数学有着决定性的意义。在新教材中，二次函数的权重再一次增加，一方面，高中常见的复合函数大部分是与二次
2、函数进行复合，另一方面，解析几何的很多问题可以转化成二次函数的问题进行求解。所以，正确的理解二次函数的图象与性质，对我们进一步学好高中数学有着举足轻重的作用。 现在，让我们一起来来揭开二次函数神秘的面纱，把握其本质。一、二次函数的定义与图象特征 类似于f(x)=ax2+bx+c（a≠0）的函数我们称之为二次函数。通过描点作图画或计算机作图我们可知二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向由a决定，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，对称轴为。知道这一特点之后，作图时，我们可先画出其对称轴，根据需要再描出它与x轴（或y轴）的交点，结合其开口方向就可画出二次
3、函数的大致图象，例如我们要画y=x2-4x+3的图象，从前面的知识中，我们可知函数的对称轴为x＝2，开口向上，与x轴交点的横坐标分别为：1，3(y=0时，x的值)从而画出它的大致图象(如右图)。从图中可知，它的单调区间为：(－∞，2],[2,+∞)其中(－∞，2]为单调减区间，[2,+∞)为单调增区间。由此可见，其单调性由开口方向与对称轴决定。 二、二次函数在闭区间的值域二次函数在闭区间的值域与其函数图象对称轴及开口方向有密切联系。要求二次函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在区间[a,b]的值域，(不妨设a>0)我们首先要判断其图象对称轴是否在区间[a,
4、b]内，若在，我们根据前面所讲画图可知，该函数在[a,]单调递减，在[,b]单调递增，故我们只需计算f(x)在x=a,x=b,x=时的值，三者中的最大即为该函数在区间[a,b]的最大值，最小值即为该函数在区间[a,b]的最小，从而值域可求。若不在[a,b]内，则f(x)在区间单调，其值域为[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]。为了让大家更形象清楚的认识这一问题，我们来看下面这道例题。例2:求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,3]的值域解：f(x)=x2-4x+3＝(x-2)2-1，a＝1>0，其函数图象开口向上，对称轴为x＝2 ∵2∈[-1,3
5、] ∴y=f(x)在[-1,2]单调递减，在[2,3]单调递增 f(-1)=8,f(2)=-1,f(3)=0故该函数值域为[-1,8]若求该函数在[3,5]的值域，则由图易知该函数在[3,5]单调递增，从而只需计算f(3),f(5)的值即可求出其值域。三、函数在开区间的值域问题函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在区间(a,b)的值域与闭区间的值域类似，当a，b中有一个（或两个都）为∞时，我们可以结合其图象求出其最小或最大值，从而求出其值域。例如：例3、求函数f(x)=x2-4x+3在以下区间的值域(1)（－1，3） （2）（－1，＋∞） （3）（－
6、∞，＋∞）解：（1）类似于例2，我们易知其值域为（－1，8）； （2）∵y=f(x)其函数图象开口向上，对称轴为x＝2，2∈（－1，＋∞）,由其函数图象，可知： 函数有最小值f(2)=－1，值域为[-1,+∞） （3）由（2）知其值域为[-1,+∞） 类似的，函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在区间(a,b)的值域，当a，b中有一个（或两个都）为∞时，当a>0时，若对称轴在区间(a,b)内，则其值域为（f(),+∞）,否则，其值域为(f(a),+∞）,(假设是求(a,+∞)上的值域)。当a<0时，若对称轴在区间(a,b)内，则其值域为（—
7、∞，f()）,否则，其值域为(－∞，f(a)）,(假设是求(a,+∞)上的值域)。四、二次函数与其他函数复合的值域。 一般高中阶段，二次函数与其他函数复合都可以化成f(g(x))=a(g(x))2+bg(x)+c（a≠0）的形式。对于这一类函数，我们要求其值域，首先令t＝g(x),求出g(x)在定义域的值域，(不妨假设其值域为[a,b]),进而再求函数y＝h（t）=at2+bt+c在区间[a,b]的值域，则y＝h(t)的值域即为所求函数的值域。 例4、求函数在上的值域。 高中阶段二次函数的值域问题主要就有以上这几大类，我们只要牢牢把握住二次函数的图象特
8、征，就可以
