杨辉三角与二项式定理导学案.doc

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1、§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城【三维目标】1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。4.引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我

2、国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.认识杨辉三角：11  11  2  11  3  3  11  4  6  4  11  5  10 10 5  11  6  15 20 15 6  1你能发现这个三角数阵的几个规律：从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。问题1：二项式展开式是：试把(a+b)n （n=0，1，2，3，4，5，6）展开

3、式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式.(a+b)0……………………………………………………1(a+b)1…………………………………………………1  1(a+b)2…………………………………………………1  2  1(a+b)3………………………………………………1  3  3  1(a+b)4……………………………………………1  4  6  4  1(a+b)5…………………………………………1  5  10 10 5  1(a+b)6………………………………………1  6  15 20 15 6  1  ……………………………【问题

4、探究3】、从函数角度分析二项式系数：问题1：(a+b)n展开式的二项式系数为，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)=，定义域为问题2：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当n=7时函数f（r）的图象吗？问题3：当n=7时，函数f（r）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？【问题探究4】通过图象归纳二项式系数的重要性质问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？知识对接考查1：1，在展开式中，与倒数第三项二项式系数相等的是：（）A.第2项B．第3项C．第4项D．第5项2，若的展开式中，第三项的二项

5、式系数与第七项的二项式系数相等，则n=问题2：（增减性与最大值）(1)由函数f（r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐的。如何证明？(2)二项式系数在中间处取得最大值，那么①当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？②当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，是二项式展开式的第几项？知识对接考查2：1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大？问题3：各项二项式系数的和①(1+x)n =+x+x2+…

6、+xr+…+xn,那么+++…+=②例1试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。知识对接考查3：变式提升：已知求(1)(2)(3)【课堂小结】1.二项式系数的性质:2.数学思想：   3.数学方法：【课后检测】1、已知=a，=b，那么=__________；2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；3、++…+=________；4、__________；5、证明：+++…+=2n-1(n是偶数)；课后探究题：中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就

7、能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？你能在杨辉三角数阵中找到答案吗？试试看，相信你能！