立体几何的解题技巧.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯立体几何大题的解题技巧——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线

2、所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：2221两点间距离d(x1x2)(y1y2)(z1z2)PQ*u2点P到线l的距离d（Q是直线l上任意一点，u为过点P的直线l法向量）uPQ*u3两异面直线的距离d（P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量）uPQ*u4点P到平面的距离d（Q是平面

3、上任意一点，u为平面法向量）u5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：v1v21异面直线角【0，】cos=【辨】直线倾斜角范围【0，）2v1v2vn2线面角【0，】sin=cosv,n或者解三角形2vnn1n23二面角【0，】cos或者找垂直线，解三角形n1n21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角

4、的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1（福建卷）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；AA1（Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；CC（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．D

5、11考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的BB1大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解：解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．AA1△ABC为正三角形，AO⊥BC．F正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，CCD1OAO⊥平面BCC1B1．BB1连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，B1O⊥BD，AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A

6、1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面ABD．1AF⊥A1D，∠AFG为二面角AA1DB的平面角．45在△AA1D中，由等面积法可求得AF，52⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又AG1AB2，AG210．1sin∠AFG2AF4545所以二面角AA1DB的大小为arcsin10．4（Ⅲ）△A1BD中，BDA1D5，A1B22，S△A1BD6，S△BCD1．在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3．设点C到平面A1BD

7、的距离为d．11由VA1BCDVCA1BD，得S△BCD3S△A1BDd，333S△BCD2．dS△A1BD22点C到平面A1BD的距离为．2解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．△ABC为正三角形，AO⊥BC．在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，AD⊥平面BCC1B1．取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)，zAAAB1(1，2，

8、3)，BD(210)，，，BA1(1，2，3)．1FAB1BD2200，AB1BA11430，CDC1OAB1⊥BD，AB1⊥BA1．yBB1AB1⊥平面A1BD．x（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)．AD(11，，3)，AA1(0，2，0)．n⊥AD，n⊥AA1，nAD0，xy3z0，y0，nAA10，2y0，x3z．令z1得n(3，01)，为平面A1AD的一个法向量．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯