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1、立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在高考中立体几何命题有如下特点:1线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系2多面体中线面关系论证,空间”角”与”距离”的计算常在解答题中综合出现3多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现4有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题【考点透视】(A)版掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握二面角、二面角的平面角
2、、两个平行平面间的距离的概念(B)版①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点
3、内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题不论是求空间距离还是空间角,都要按照”一作,二证,三算”的步骤完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用典型例题例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点(Ⅰ)求证:平
4、面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程:解法一:(Ⅰ)取中点,连结为正三角形,正三棱柱中,平面平面,平面连结,在正方形中,分别为的中点,,在正方形中,,平面(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面,为二面角的平面角在中,由等面积法可求得,又,所以二面角的大小为(Ⅲ)中,,在正三棱柱中,到平面的距离为设点到平面的距离为由,得,点到平面的距离为解法二:(Ⅰ)取中点,连结为正三角形,在正三棱柱中,平面平面,平面取中点,以为原点,,,的方向为轴
5、的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,平面(Ⅱ)设平面的法向量为,,,令得为平面的一个法向量由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量,二面角的大小为(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,点到平面的距离小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点到平面的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法
