专题七 立体几何新题型的解题技巧

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1、专题五立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】立体几何：两种方法解决四类问题。命题趋势：1．线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系.2．多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.3．多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现.4．有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.【考点透视】①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.④

2、理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.不论

3、是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1.(2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.QBCPADzyxOQBCPA

4、DOM8考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.典型例题例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离..考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.典型例题例3．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH考点4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.典型例题例4．（2006年广

5、东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角..考点5直线和平面所成的角8此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.ADBPEC线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题例5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱，PD=DC,E是PC的中点.(1)证明：∥平面；(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值.考点6二面角ABCDF此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面

6、角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.典型例题例6．如图，已知直四棱柱的底面是菱形，且，，F为棱的中点.求平面与平面所成的锐二面角的大小.考点7利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.典型例题例7．(2005年山东卷)如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角；8（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点到平面的距

7、离.例8．（2006年全国Ⅰ卷）如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（I）证明ACNB；（II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值.考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.典型例题例9.如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例10.如图左，在

8、正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为