立体几何地解题技巧.doc

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1、立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在2007年高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和

2、平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念..空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点容，高考试题中常将上述容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统

3、的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1（2007年卷理）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．ABCD（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解答过程：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．ABCDOF为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．

4、（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由，得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．xzABCDOFy取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．点到平面的距离．小结：本例中（Ⅲ）采用了两种

5、方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.例2.(2006年卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.QBCP

6、ADOM过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：方法一　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.因为，所以，从而AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成

7、的角是.(Ⅲ)连结OM，则所以∠MQP＝45°.由（Ⅰ）知AD⊥平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面QAD.过P作PH⊥QM于H，PH⊥平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.又.QBCPADzyxO即点P到平面QAD的距离是.方法二　（Ⅰ）连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分