球体体积公式的推导.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯球体体积公式的推导湖北仙桃二中刘四云1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径OA的R平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、⋯rnn由相交弦定理得2RR221r1=·(2R—)=R(—),2nnnn222R2R2222r2=·(2R—)=R(—),，2nnnn223R3R2232r3=·(2R—)=R(—)，2nnnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22nRnR22nnrn=·(2R—)=R·（—）2nnnn33232R21R2

2、22R233∴V半球=兀·(—)+兀·(—)+兀·(—)⋯⋯222nnnnnnnnn32R2nn+兀·（—）2nnn3222R222232n122n=兀·（+++⋯⋯+————⋯⋯—）2222nnnnnnnnn1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯32222R123n123n=兀·（2×—）2nnn3R1n2n1n1=兀·〔n+1—·〕2n6n3n112n1n1=兀R〔—·〕2n6n234n3n1=兀R·26n3211=兀R·（+）232n6n11当n趋近于∞时，=0，=0，22n6n32所以V半球=兀

3、R（+0+0）323=兀R343V球体体积=兀R。32