球体体积公式的推导.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯球体体积公式的推导湖北仙桃二中刘四云1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径OA的平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是R，半径分别为r1、r2、r3、⋯rnn由相交弦定理得2R·(2R—R22—1r1=nn)=R(nn2),2r22=2R·(2R—2R)=R2(22—22),，nnnn2=3R3R2(2322)，r3·(2R—)=R—n2nnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯rn2=nR·(2R—nR)=

2、R2·（2n—n2）nnnn2∴V半球=兀·R32—1R322—22R323—32n(nn2)+兀·(n2)+兀·(nn2)⋯⋯nnn+兀·R3（2n—n2nn）n2=兀·R3222232n—1—2222n2（+n++⋯⋯+nn2——⋯⋯—）nnnn2n2n21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=兀·R3（2×123n—122232n2）nnn2=兀·R3〔n+1—1·n2n1n1〕n6n23〔n11·2n1n1〕=兀Rn—n263·4n23n1=兀R

3、6n23211=兀R·（3+2n6n2）当n趋近于∞时，1=0，1=0，2n6n2所以V半球=兀R3（2+0+0）3=2兀R33V球体体积=4兀R3。32