几种求定积分的方法.pdf

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1、108治学之法新课程·下旬2012年1月28日几种求定积分的方法文/项慧慧摘要：微积分是高等数学的一个重要分支，它是数学的一个基础学科。特别对于高职院校来说，微积分是高职高等数学的主要内容。而微积分中定积分的运算对于高职其他学科所涉及的数学运算和很多实际问题的解决有重要作用。关键词：定积分；不定积分；牛顿—莱布尼兹公式；数形结合思想一、用牛顿—莱布尼兹公式求定积分lnx例2.求乙dx（x＞0）x牛顿-莱布尼兹定理：函数（fx）在闭区间［a，b］上连续，F（x）是b1解：该式中的积分比较简单，所以把它积分积到d后

2、面。（fx）的任一个原函数，则有乙（fx）dx=F（b）-F（a）。xa上式叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式。该乙lnxdx=乙lnxxd（ln-x）=乙udu=1u2+C=1ln2x+Cx22式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处的差。（2）复合函数形式：对于简单的复合函数求积分，可以把d后b为计算方便，上述公式常采用这样的格式（fx）dx=F（x）│a乙b=面的尽量配成复合函数的自变量形式，然后把d后面的式子进行a［F（x）］a换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。b。由上式可知，想求

3、定积分，先要求不定积分，然后再代值作例3.求乙cos5xdx差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：解：该式应该把d后面的x配成5x，这样就和前面复合函数（一）直接积分法的自变量位置相同了。直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行积分；或者对被积函数进行简单整理，适当变形，将其化为可以用乙cos5xdx=1乙cos5xdx（5x）=1乙cosudu=1sinu+C=15555积分公式和法则来解决的形式，再进行积分。常用的整理方法有sin5x+C分式拆项法、三角恒等变换等。2.第二类换

4、元积分法1+x+x2例1.求乙2dx第二类换元积分法主要适用于被积函数中带根号的积分。去x+（1+x）解：该式不是基本积分表中的形式，应该先整理成积分表中根号的方法有直接设根号为t，或用三角代换法。的形式再积分。该式应用的整理方法是分式拆项法。姨x例4.求乙3dx1+x+x2x+（1+x2）111+姨x乙x+（1+x2）dx=乙x（1+x2）dx=乙（1+x2+x）dx然后再用基解：该被积函数中带有根号，首先应该用换元法去掉根号，然本积分表解决。后再用上面介绍过的直接积分法进行求解。（二）换元积分法6令x（6t

5、＞0），dx=6t5dt，于是姨=t，则x=t有些函数无论怎么整理化简都无法变成基本积分表中的形式，姨xt3t81d=6t5dt=6dt=6（t6-t4+t2-1+）dt因而无法用直接积分法来求解，那么可以用换元积分法来求解。而乙1+姨3x乙1+t2乙1+t2乙1+t2换元积分法又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。整理到上面的形式后，再用直接积分法即可解决。1.第一类换元积分法如果被积函数中含有根式a2-x22±a2姨或姨x（a＞0）时，可将第一类换元积分法也叫凑微分，就是根据被积函数，利用微被积式作如下

6、变换：分形式不变性，凑成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积（1）当含有a2-x2分。一般题型可分为乘积形式和复合函数形式两种。姨时，可令x=asint（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分（2）当含有x2+a2姨时，可令x=atant时，可以先把其中比较简单的一个积分积到d后面，然后把d后（3）当含有姨x2-a2时，可令x=asect面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。以上三种变换叫做三角代换。2012年1月28日新课程·下旬治学之法109（三）分部积分法方法二要比方法一简单

7、一些，它省略了变量回代这一步，但由分部积分法应用的题型是被积函数是两个不同类型的函数的于引入了新的积分变量，必须相应地改变积分限。乘积。另外，对于被积函数只是一个函数式，但不是基本积分表中三、巧用数形结合思想求定积分的形式，也可以用分部积分法。定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积分部积分公式：乙udv=uv-乙vdu。它的作用在于：把比较难求分的几何意义。a例7.求a2-x2乙姨dx（a＞0）的乙udv化为比较容易求的乙vdu来计算，可化难为易。0分析：一般教材上都会推荐使用第二类换元积分法的三

8、角代分部积分的解题步骤：换来求解此题，但此类问题若使用数形结合来求解，则思路上会更1.找到式子中的u,把u留下，把另一个式子积分积到d后面为简捷清晰。下面我们来看一下这两种解法的比较。（找到u的规律：“指三幂对反，谁在后面谁为u”）。方法一：传统解法（第二类换元积分法）2.利用公式求解π解：设x=asint，dx=acostdt。当x=0时，t=0；当x=a时，t=。于例5.求乙xco