求不定积分的几种方法3.2

《求不定积分的几种方法3.2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、求不定积分的几种方法刘灯（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首-416000）摘要：本文比较全面的总结了几种求不定积分的方法，并给出了相应的例子.关键词：直接积分；第一换元积分；第二换元积分；分部积分；有理函数积分SeveralmethodsofseekingindefiniteintegralLiudeng(JishouUniversity,SchoolofMathematicsandComputerScience,HunanJishou-416000)Abstract:Thisarticlecomparesacomprehensivesummaryofsev

2、eralseekingindefiniteintegralmethod,andgivesexamplesofthecorrespondingKeywords:directintegral;firstsubstitutionintegral;secondsubstitutionintegral;branchpoints;rationalfunctionintegral1引言定义1.1设函数与在区间上都有定义，若，则称为在区间上的一个原函数。定义1.2函数在区间上的全体原函数称为在的不定积分，记作，其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量。定义1.3若是的

3、一个原函数，则称的不定积分是一个函数族，其中是任意常数，为方便起见，写作.这时又称C为积分常数，它可取任一实数值。定义1.4设在上有定义，在上可导，且，，并记.(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数,，即.(1)(ii)又若，则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数时，在上也存在原函数，且=，即=.(2)以上(i)和(ii)分别称为第一换元积分法和第二换元积分法，公式（1）和（2）分别称为第一换元公式第二换元公式。定义1.5若与可导，不定积分存在，则也存在，并有（3）公式（3）称为分部积分公式，常简写作.定义1.6有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，

4、其一般形式为，（1）其中为非负整数，与都是常数，且若，则称它为真分式；若，则称它为假分式。定义1.7基本积分公式如下：（1）.（2）.(3).（4）.（5）.(6).（7）.（8）.(9.(10).(11).(12).(13).(14)2主要方法的列举及运用2.1根据基本积分公式求不定积分例2.1求的不定积分。解.2.2用第一换元积分法来求不定积分。利用该方法求不定积分的步骤是：（1）将凑成形式；（2）作变量代换，令；（3）换回原来的变量，即代替，从而求出函数的积分。例2.2求.解由可令，则得2.3利用第二换元积分法求不定积分，该方法的步骤为：（1）变量代换；（2

5、）换回原来的积分。例2.3求解令，于是=+C=+C.2.4利用分部积分法求不定积分，运用此方法的关键在于与的选取，而与的选取又必须注意以下两点：（1）要容易求；（2）比要容易求。例2.4求.解令，则有由分部积分公式求得.2.5用有理函数的不定积分法。看到一个不定积分函数，如果用换元积分法和分部积分法都无法解答出来，则必须用有理函数积分法。有理函数的积分可归结为多项式和最简真分式的积分，该方法适合于求有理函数的不定积分。例2.5求.解在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为现分别计算部分分式的不定积分如下：=由递推公式，求得其中=于是得

6、到2.6用三角函数有理式的不定积分法。通常情况下，当被积函数是时，通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。特别地，当被积函数是及的有理式时，采用变换往往较为方便。例2.6求解令，则有==2.7某些无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分，然后再根据有理函数的不定积分法来求。（1）当无理根式为型时，只需令，就可化为有理函数的不定积分；（2）当无理根式为型时，时，时，可将其转化为以下三种类型之一：当分别令后，它们就都化为三角有理式的不定积分。例2.7求解若令则可解出于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：==.参考文献：[1]华东师范大学数学系[M].北京：高等

7、教育出版社,2001年6月.