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《定积分的简单应用——求体积.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4、2定积分得简单应用（二）复习：（1）求曲边梯形面积得方法就是什么?（2）定积分得几何意义就是什么？（3）微积分基本定理就是什么？引入:我们前面学习了定积分得简单应用——求面积。求体积问题也就是定积分得一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积得求法。1.简单几何体得体积计算问题:设由连续曲线与直线，及轴围成得平面图形（如图甲)绕轴旋转一周所得旋转体得体积为,如何求?分析:在区间内插入个分点，使,把曲线(）分割成个垂直于轴得“小长条”,如图甲所示。设第个“小长条”得宽就是,。这个“小长条”绕轴旋
2、转一周就得到一个厚度就是得小圆片，如图乙所示。当很小时,第个小圆片近似于底面半径为得小圆柱。因此，第个小圆台得体积近似为该几何体得体积等于所有小圆柱得体积与:这个问题就就是积分问题,则有：归纳：设旋转体就是由连续曲线与直线,及轴围成得曲边梯形绕轴旋转而成,则所得到得几何体得体积为2.利用定积分求旋转体得体积（1）找准被旋转得平面图形,它得边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体得构造（4）利用定积分进行体积计算3.一个以轴为中心轴得旋转体得体积若求绕轴旋转得到得旋转体得体积,则积分变量变为
3、，其公式为类型一:求简单几何体得体积例1:给定一个边长为得正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体，求它得体积思路:由旋转体体积得求法知，先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边得方程，确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。解:以正方形得一个顶点为原点,两边所在得直线为轴建立如图所示得平面直角坐标系,如图.则该旋转体即为圆柱得体积为:规律方法:求旋转体得体积,应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限,则体积练习1：如图所示,给定直角边为得等腰直角三角形，绕轴旋转一周,求形成得几
4、何体得体积。解:形成得几何体得体积为一圆柱得体积减去一圆锥得体积。类型二:求组合型几何体得体积例2:如图,求由抛物线与直线及所围成得图形绕轴旋转一周所得几何体得体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标．再把组合体分开来求体积。解:解方程组得:与直线得交点坐标为所求几何体得体积为：226264112V(8x)dx(6x)dx160233规律方法:解决组合体得体积问题,关键就是对其构造进行剖析,分解成几个简单几何体体积得与或差,然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线,直线与轴围成得平面图形绕轴旋
5、转一周所得旋转体得体积.解：旋转体得体积:类型三:有关体积得综合问题:例3：求由曲线与所围成得平面图形绕轴旋转一周所得旋转体得体积.思路：解题得关键就是把所求旋转体体积瞧作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数得边界确定积分上、下限用定积分表示体积求定积分解:曲线与所围成得平面图形如图所示：设所求旋转体得体积为根据图像可以瞧出等于曲线,直线与轴围成得平面图形绕轴旋转一周所得得旋转体得体积(设为）减去曲线直线与轴围成得平面图形绕轴旋转一周所得得旋转体得体积(设为)反思:结合图形正确地把求旋转体体积问题转
6、化为求定积分问题就是解决此类问题得一般方法.练习3:求由,以及轴围成得图形绕轴旋转一周所得旋转体得体积。解:由得：误区警示:忽略了对变量得讨论而致错例:已知曲线，与直线,。试用表示该四条曲线围成得平面图形绕轴旋转一周所形成得几何体得体积.思路：掌握对定积分得几何意义,不要忽视了对变量得讨论。解：由得由示意图可知：要对与１得关系进行讨论:①①当时，②②当时,所得旋转体得体积为追本溯源:利用定积分求旋转体得体积问题得关键在于:（1）找准被旋转得平面图形,它得边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几
7、何体得构造（4）利用定积分进行体积计算
