4.3.2定积分的简单应用体积

《4.3.2定积分的简单应用体积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．体会利用定积分求体积的思想方法．2．会利用定积分求简单几何体的体积．3．体会极限思想的应用．【核心扫描】1．利用定积分求简单几何体的体积．(重点)2．常与旋转体的概念等综合考查．(重点、难点)3．2简单几何体的体积【课标要求】自学导引(1)简单旋转体体积的求解步骤①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数；④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；⑤求出定积分，即旋转体的体积．2．简单旋转体体积求法提示本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x

2、轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．：如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.名师点睛1．简单几何体的体积计算在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n

3、.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]．这个问题是积分问题，则有(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数．(2)分清端点．(3)确定几何体的构造．(4)利用定积分进行体积表示．2．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积得

4、到一个几何体，求它的体积．[思路探索]由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积．题型一　求简单几何体的体积【例1】给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，【训练1】如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕y轴旋转一周，求形成的几何体的体积．[思路探索]解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组合体分开来求体积．题型二　求组合型几何体的体积【例2】如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几

5、个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积．形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．【训练2】求由曲线y＝2x，直线x＝1与x轴围成的平面图审题指导解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差．题型三　有关体积的综合问题【题后反思】结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法．误区警示　忽视了对变量的讨论而致错掌握对定积分的几何意义，不要忽视了变量a的讨论．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数．(2)分清端点．(3)确定几何体的构造．(4)利用定积分进行体积表示．单击

6、此处进入活页规范训练