定积分的几种解法归类.pdf

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1、FORUM论坛定积分的几种解法归类■郑亚琴广东外语外贸大学南国商学院中图分类号：O172文献标识：A文章编号：1006-7833(2010)09-387-02摘要定积分的计算在积分学中占有极其重要换又可以消除根式的情况下，可采用换元积分法。常用的的单位，切实掌握求定积分方法很有必要，本文系统地有以下几种代换：（1）三角代换若被积函数中含有ax22−，可令归纳了几种计算定积分的方法。x=atsin或x=atcos；若被积函数中含有22x+a，可令关键词定积分牛顿-莱布尼兹公式换元奇x=attan或x=atcot；若被积函数中含有2

2、2x−a，可令偶性方程组x=atsec或x=csct。（2）根式代换若被积函数中含有nax+b，可令定积分在微积分学中占有极为重要的地位，它与微分相比，难度大，方法灵活。如果我们要按定积分的定义计nnaxb+，可令t=naxb+；ta=xb+；若被积函数中含有算定积分，那将是十分困难的，因此，切实掌握求定积分cxd+cx+daxb+方法很重要。为使学生灵活运用、熟练选择积分方法计算若被积函数中含有nax+b和max+b，可令t=p，p是cx+d定积分，下面将各种计算定积分的方法系统地进行归类。n和m的最小公倍数。一、基本方法（3

3、）倒代换一般用于分母次数较高的情况。如1．牛顿-莱布尼兹公式111∫−17dx，可令x=。若函数F()x是连续函数f()x在区间[,]ab上的一个原xx()+2t函数，则以上归纳在具体解题时还要具体分析，灵活处理。b3．分部积分法∫f()xdxFb=−()Fa()（1）abbb式（1）称为牛顿-莱布尼兹公式，也称微积分基本公分部积分公式为∫aaudv=−uv∫vdua式。要求定积分，只需求出被积函数的一个原函数在此区bb间上的增量即可。当∫udv不易求，而∫vdu易求时，可考虑用各分部积aa3adx分法，前提是必须把被积表达式化

4、成u与dv乘积的形式。例：求定积分∫022。ax+应用此法的关键是选择合适的u，并巧妙地凑微分dv，这1x1样才能达到化难为易的目的。分部积分法主要解决被积函解：因arctan是22的一个原函数，由牛顿-莱aaax+数是两个函数乘积的形式，下面几种类型积分，都可用分布尼兹公式，有部积分法，且udv,的选法有规律可循。bbb3adx11x3aπ（1）xnmedxx，xnsin()cx+ddxxncos()cxddx+，∫022==arctan()arctan3arctan0−=∫a∫a，∫aax+aaa03an可设ux=；2．换元

5、积分法bbb（2）xnlnxdx，xnarcsin()cxddx+xnarctan()cxddx+，先分析一个实例：∫a∫a，∫a1xn例：求定积分∫dx。可设xdx=dv；01+xbbnxnx解：被积函数的原函数不容易看出来，用不了牛顿-莱（3）∫ecsin()x+ddx，∫aeccos()x+ddx，udv,a布尼兹公式，为此，将x当作一个整体，令tx=，则tx=，可任意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，tx=，由积分区间知tx=，可得tx=，以便产生循环式，解出所求积分。11xt2分子加再减，裂项得111⎡⎤2

6、∴=∫∫dx22dt∫⎢⎥（t-1）+dt另外，如果被积函数中只有一个式子（如001+⎣x1+t01+t⎦arcsin,arctan,lnxxx等），而又没有其他办法解出时，不21=−+⎡⎤⎣⎦()tt12ln1()+=−2ln21妨用分部积分公式，可令被积函数为u，dv=dx。03上述例题引用方法，可一般化为如下计算程序：如：2arcsinxdx21∫0=−+⎡⎤⎣⎦()tt12ln1()+=−2ln21，其中，α是x=a时由ϕ(ta)=01解：设ux=arcsin,dv=dx，则du=dx，vx=解出的t的值，β是x=b时由

7、ϕ(tb)=解出的t的值。然后1−x2计算关于t的积分，得出最终结果。333x32233231π这种方法叫做换元积分法，使用换元积分法关键是恰∫∫arcsinxdx=−xarcsinx2dx=+arcsin1−x2=−。00222621−x00当地选择变换函数x=ϕ(t)且需注意换元必换限。此法没二、特殊解法有一般的规律可循，但被积函数中含有根式时，而通过代20109387论坛FORUM1．利用奇偶性a2．求22∫ax−dx。函数的奇偶性在定积分的计算中有如下结论：0若f()x在[−aa,]上连续，当f(x)是奇函数时，a22解

8、：由定积分的几何意义可知，ax−dx表示aaa∫0∫fxdx()=0；当f(x)是偶函数时，∫∫f()xdx=2fxdx()。−a−a0曲线yax=22−=,0x和y=0之间所夹区域的面321⎡⎤xxsin2如：计算定积分Ix=+∫−1⎢⎥62()2+xdx积，