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1、DOI:10.13775/j.cnki.cn61-1472/g4.1999.01.013延安教育学院学报1999年第1期(总第2魂期乡含完美幻方的构高治源·,·,,“”最近笔者在国际互联网搜狐网址中(wwwoShocomcn)用magicsquaer搜索到数万条幻方信,,。息当大量的幻方实例在电脑屏幕上流水式地闪过时我们更加感到幻方的世界确实太复杂太庞大了而这,,.,对于研究者来说要从中找到一种规律考察起来确实太费精力了笔者撰写此文目的想让幻方的变化规律。,,能在我们的研究中变得清晰起来那么从研究幻方的结构入手也许是一个很有效的方向,,研究幻方的结构我们注意到下列几种理论(l)北
2、京廖福成与湖北郑格于的矩阵理论(2)兰州黄均迪的;;“;”“。进位制法(3)江苏沈锡南的差值互补原理(4)贵州施学良提出的互补数连线图(5)山东吴硕辛提出的心”,一A理论(6)上海徐桂芳的剩余数理论(7)西安孙友的函数模型(8)已普遍被应用的正交拉丁方和幻基方“”,,(9)笔者下面将着重介绍的幻方模型布局图这些理论在研究幻方结构上都有独到之处可帮助我们对幻方。有一个更深刻的认识,,,我们知道五阶完美幻方有144个将这144个幻方全部罗列出来自然是很费力的事但如果我们搞清楚,,,它的结构变化我们就会发现这144个幻方的抽象结构是完全相同的它们都可由图(l)的两个模型布局图。,.,,
3、合成每个图的五个字母可随意选取l2345的n一个排列;正交后用公式y一5(m一1)十即可演算.。a,,c,aCe出一个五阶完美幻方根据完美幻方的性质bbdABCDE,e,,d不一12种的取值方法共有因为这是一种不’一,`J一一一”J,’/z、甲eaC。“曰S共义2一”~dbCDEAB~~。,,,,计逆(顺》时针方向的圆排列同样ABCDE对CeabdEABCD,应的取值方法也有12种情况因此五阶完美幻方共eaC。bdBCDEA有12丫12一且4种14个幻方仅用两个正交的字母,Cea拉丁方可概括我们立即会对五阶完美幻方产生一dbDEABC.。个清晰的认识象图1的字母拉丁方我们称为五阶
4、。,“”,完美幻方的模型布局图进一步观察144个五阶完美幻方我们发现等幻和的星座(图形块巧的是英国人、、.、:、、,也这样称呼)直线()斜线(/)五星(+)五宫(x)北斗(田)直角(冈共六类还有我们无法搞清楚“”,—,的差星座它们在各个幻方中的变动规律是十分奇妙的从中我们可以看出五阶完美幻方的内在的变化结,。构我们有必要作进一步的探索.。七阶完美幻方有多少种?现在还没有准确的统计因为它包括规则的和不规则的两种情况日本学者研。“,究的结论是七阶规则完美幻方有6汉360一77760。类七阶不规则的完美幻方至少有64丫107类我们有希、、,,:望可以把规则的七阶完美幻方研究清楚图2是四
5、个七阶模型布局图它们可组成6对正交拉r方STSX、、、.,sY因;个元素不计方向的圆排列是二36。种故每对正交表可生成36护个七阶完美幻’xT、YT’xy’J、’z’`、、’一一--一-’z“,、沪曰J”J”切一一诸卜、“/“一甘一一~~~然7又2”~~~~一~~”~””。,、、,,,方但笔者细心对照后发现SX与TYSY与TXST与XY本质上是相同的而且我们还认为SXSYST之,、,。间也可能有轴对称中心对称旋转对称的重复现象因此我们不同意日本学者所得的结论七阶规则完美幻。方的个数还需认真研究后确定28eCbdfgABCDEeC·fgbdEABCDeCdfgbBCDEAebCdf
6、gABCDEegbCdfCDEABeCfgbABCDEeCdfgbDEABC()方(2)方hijklHIJLMNKklhijJLMNHIK】hijklLMNHIJjklhiNHIJLMKhijklIJLMNHKjkIhLMNHIJKhijkMNHIJLKX(3)方(4)Y方图2..。、.七阶不规则的完美幻方是由ALCdy在40年首次发现日本学者士怀狞阿部乐方作了广泛的研究他,.,们的研究成果确实是很重要的日本学者以此为荣是可以理解的图3给出了阿部乐方发现的一例从中可看,,,。,出A方与B方是关于中列对称的它们的每行都有重复数字出现因而具有不规则性间题是我们是如何,,,给出这种幻方
7、的模型布局图呢?我们初步研究发现给A方统加l或2和为7时变为。则所得方阵仍然是不,,。规则完美型的可见顺着这一思路走下去我们可以找到其变化规律的至于七阶完美幻方有多少种等幻和,。的星座现在还没有人研究清楚2005464464500219754129433165300433400356464022143428526421111246253716453321l01300536522563500364225483615431l426624113435241293018473632115
