准确把握题意,巧用“最值”解题.pdf

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1、2013年第10期林区教学No．102013总第199期TeachingofForestryRegionGeneralNo．199准确把握题意，巧用“最值”解题王建勋(山东省临沂第一中学，山东临沂276003)摘要：函数内容中“恒成立”的问题及“存在成立”的问题，会时常用到函数中的“最值”思想。准确把握题意。巧用“最值”解题，化动为静，事半功倍!关键词：“恒成立”；“存在成立”；最大值；最小值中图分类号：0174文献标志码：A文章编号：1008—6714(2013)10—0074—03’在解决函数问题，特别是与导数编制在一起的函

2、数问．．￡()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递题时，常常会遇到“恒成立”的问题及“存在成立”的问题。增，故当=1时，t()有最小值为4，故n(一，4]学生对这类问题往往不能准确把握题意，“翻译”不对，导(Ⅲ)化简得G()=lnx，原不等式可化为lnx>÷一致词不达意。笔者就教学中遇到的此类问题，归类点析，以抛砖引玉。，即证x]nx>÷一三成立，类型1记F()：xlnx，可求其最小值为，()=一，设I厂()，g()分别是定义在区间[n，6]上的两个函数，贝0_厂()≥g()，V∈[n，6]恒成P_c~f(x)⋯g()记

3、日()：÷一三，可求其最大值为日(1)=一，例1：已知函数)=X3一，g()：12一lm一÷显然∈(0，+)，F()>H()，故原不等式成立。点评：此类恒成立问题还有“变种”形式：(I)若_厂()在=1处的切线与轴平行，求实数。(1)K，()，V∈[0，b]恒成立K≥，()(的值；)，V∈[0，b]恒成立5)⋯，∈[。，6])(Ⅱ)若对一切∈(0，+)，有不等式f()≥2x·(2)；-厂()-f()lM，V，∈[。，b]恒成立甘g(x)一+5一3恒成立，求实数0的取值范围；)⋯一)≤，∈[口，6](Ⅲ)记G()=—15g()，求

4、证：G()>1一一下一(3)f()一(：)N，V。，E[n，b]恒成立二二e2-厂()⋯一，()⋯Ⅳ，∈[a，6](4)／)一g(：)≥T，V。∈[0，6]，V∈[c，d]恒解析：成立1)⋯一g(t2)⋯≥T，tI∈[。，b]，t2∈[c，d](I)_厂()=3x一n，‘．’-厂()在：1处的切线与轴例2：已知函数-厂()=+2(1一。)+2(1一Ⅱ)ln(平行，．‘．-厂()在：1处的切线斜率为0一1)，∈(1，+∞)即-厂(1)=3一n=0，．‘．。=3(I)=÷是函数的一个极值点，求n的值；(Ⅱ)原不等式可化为：3一舰2(

5、2一lnx一—5)(Ⅱ)求函数-厂()的单调区间；一+5x一3，化简得：毗_<2xlnx++3，(Ⅲ)当。：2时，函数g()：一一b(b>0)，若对任‘．‘>0，故上式可化为a_<21nx+二+恒成立，即a意m，m：[÷+1，e+1]，jg(m)一／(m)J<2e2+2e都成立，求6的取值范围。≤(21nx+÷+)。解析：(I)(Ⅱ)两问略记()：2l毗+三+(>o)，f，()：王(1U)当。=2时，由(2)知_厂()在(1，2)减函数，在(2，，，+o。)增函数。令t()=0，．‘>0，．‘．=1，．’．在(0，1)上，t()

6、<·。0，在(1，+)上，t()>0，·，(2)=0e+1)寿P+Ie+1)e2一3·收稿日期：2013—07—20．．y=f(x)在【÷+1，e+1]的值域[0，e2—3]作者简介：王建勋(196g一)，男，山东临沂人，中学高·级教师，从事中学数学研究。．g(x)=_X2—6在[÷+l，e+1]为减函数--——74．-——。(Ⅱ)若函数，()在(1，+。。)上是减函数，求实数a．．y=g()在[÷+1，e+1】的值域为[一(e+1)一的最小值；b，一(一十1)一b](Ⅲ)若j，∈[e，e]，使，()<，()+a成立，求实数n的

7、取值范围。’’．6>0解：由已知函数g(x))的定义域均为(0，1)u(1，·一．．(一+1)一b<0，一(P+1)一b<0+∞)，且，()=一(Ⅱ>0)所以I，(m)一g(m2)I<2e+2e成立，只要e一3一(一e+1)一b)=e一3+(e+1)+b=(I)函数g()=(12e+2e一2+b<2e+2e成立即可眦)一(1吡)’解得：0e时，g()>0，所以函数g()的单调增区l司是例3：已知函数_厂()=毗一一2a一61nx在=2处取得(e，+∞)。(1I)因f()在(1，+。。)上为减函数，故厂()=极值。

8、f

9、ix-1一。0在(1，+)上恒成立。(I)求实数a的值；(II)g()=(一3)e一m(e为自然对数的底数)，若所以当∈(1，+)时()0对任意。∈(0，2)，∈[2，3]，总有，(。)一g(：)0成又厂()=lnx-1立，求实数m的取值范围。一。=一()+1一