巧用绝对值的几何意义解题.pdf

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1、中学生数理化·教与学巧用绝对值的几何意义解题□杭州外国语学校钱卫江

2、x－2004

3、)+…+(

4、x－1002

5、+

6、x－1004

7、)+

8、x－1003

9、绝对值是初中代数中的一个重要概念，在求代数式的(*)值，解绝对值方程与不等式时，通常会遇到分类讨论的问(*)式要取最小值，则要找一个x满足每个括号内都题．为了帮助学生掌握这个知识点，有必要探究一下绝对值能取到最小值．由性质(1)得:当1≤x≤2005时，第一个括的几何意义．号取到最小值，依次类推以后取到最值x的范围分别是:2≤我们知道，

10、x

11、的几何意义是表示数轴上表示x点到原x≤2004，…，1002≤x

12、≤1004，x=1003．我们可以发现，当x=科点的距离．类似地可知，

13、x－a

14、的几何意义是表示数轴上点1003时，每个括号都能取到最小值，因此(*)式也取到最学x到点a的距离．由此，我们对此稍加推导可以得到两个非小值．思想常有用的性质．当x=1003时，原式=(1002+1001+…+1)×2=方1．

15、x－a

16、+

17、x－b

18、≥

19、a－b

20、．也就是说，它的最小值为10051006，所以最小值为10051006．法a，b两点间的距离．注:通过此题对性质1可以再进行推广:

21、x－a1

22、+

23、x－通过一个数轴能很好地说明这个问题．如图1．a2

24、+…+

25、x－an－

26、1

27、+

28、x－an

29、，(a1＜a2＜…＜an)．当n为偶数时，在最中间两个数之间取到最小值．当n为奇数时，在最中间这个数取到最小值．图12．绝对值方程问题(1)当x在a与b之间(包括a，b)时，如点x1，此时x到例3解方程:

30、x－2

31、+

32、x－5

33、=3．点a与点b的距离和恒为

34、a－b

35、．解析:因为

36、2－5

37、=3．(2)当x在a与b一侧时，如点x2，x3，此时x到a和b根据性质1，得2≤x≤5．点的距离和恒大于

38、a－b

39、．若方程改为

40、x－2

41、+

42、x－5

43、=1，则程无解，因为

44、x－2

45、2．

46、x－a

47、－

48、x－b

49、≤

50、a－b

51、．如图2．+

52、x－5

53、最小值为3．

54、若再改:

55、x－2

56、+

57、x－5

58、=a．此方程无解．a的取值范图2围，可以知道a＜3．(1)当x在a的左侧或x在b的右侧(包括a，b两点)3．绝对值不等式问题时，如点x2，x3，

59、x－a

60、－

61、x－b

62、的值恒为

63、a－b

64、．例4解不等式

65、2x+5

66、－

67、2x－5

68、≤12．(2)当x在a，b之间时，如点x1，

69、x－a

70、－

71、x－b

72、＜解析:此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而

73、a－b

74、．稍加转化用性质2，则易解．下面我们利用这两个性质来解决一些实际问题．在不等式的两边同除以2，得1．绝对值最值问题x+55－x－≤6．22例1已知

75、x+2

76、+

77、1－x

78、=9－

79、

80、y－5

81、－

82、1+y

83、，求x55+y的最值．由性质2可知，此式恒小于等于－(－)=5．22解析:整理得:

84、x+2

85、+

86、x－1

87、+

88、y－5

89、+

90、y+1

91、=55所以对于不等式x+－x－≤6，任意实数9(*)22由性质(1)得:

92、x+2

93、+

94、x－1

95、≥3．(1)都成立．

96、y－5

97、+

98、y+1

99、≥6．(2)通过上面的几个例子，我们不难发现，通过绝对值几何而(*)成立，(1)(2)必须同时取到最小值，所以可得意义解题，使一些比较复杂的绝对值问题得到巧妙解决，避－2≤x≤1，－1≤y≤5．免了烦琐的分类讨论．这正体现了一个重要的数学思所以x+y的最大值为6，最小

100、值为－3．想———数形结合思想，用“形”的直观启迪“数”的计算．我们例2求

101、x－1

102、+

103、x－2

104、+…+

105、x－2004

106、+

107、x－2005

108、抓住数形转化的策略，不仅沟通了知识的联系，而且也能激的最小值．发学生学习的兴趣，从而使学生对数学思想方法有较深刻解析:原式变形得:(

109、x－1

110、+

111、x－2005

112、)+(

113、x－2

114、+的理解和掌握．2012.0289