用绝对值的几何意义解题

《用绝对值的几何意义解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、用绝对值的几何意义解题大家知道，

2、a

3、的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；

4、a－b

5、的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍． 一、求代数式的最值    例1已知a是有理数，

6、a－2007

7、+

8、a－2008

9、的最小值是________．. 解：由绝对值的几何意义知，

10、a－2007

11、+

12、a－2008

13、表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故

14、a－2007

15、+

16、a－2008

17、的最小值为1.    　　　　　　　    例2 

18、x－

19、2

20、－

21、x－5

22、的最大值是_______，最小值是_______． 解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，

23、x－2

24、－

25、x－5

26、表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，

27、x－2

28、－

29、x－5

30、的最大值和最小值分别为3和－3． 　　　　　　　　 二、解绝对值方程    例3方程

31、x－1

32、+

33、x＋2

34、＝4的解为__________．    解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，

35、x－1

36、

37、+

38、x＋2

39、恒有最小值3，所以要使

40、x－1

41、+

42、x＋2

43、＝4成立，则点P必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程

44、x－1

45、+

46、x＋2

47、＝4的解为：x＝－2－＝－，x＝1+＝． 　　　　　　　　　　　 三、求字母的取值范 例4        若

48、x+1

49、+

50、2－x

51、＝3，则x的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知，

52、x+1

53、+

54、x－2

55、的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是－1≤x≤2． 　　　　　　　　　　　 例5        对于任意数x，若不等式

56、x＋2

57、+

58、x－4

59、＞a恒成立，

60、则a的取值范围是___________． 解：由绝对值的几何意义知，

61、x＋2

62、+

63、x－4

64、的最小值为6，而对于任意数x，

65、x＋2

66、+

67、x－4

68、＞a恒成立，所以a的最值范围是a＜6．    四、解不等式 例6        不等式

69、x＋2

70、+

71、x－3

72、＞5的解集是__________． 解：由绝对值的几何意义知，

73、x＋2

74、+

75、x－3

76、的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值，若

77、x＋2

78、+

79、x－3

80、＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3． 　　　　　　　　　　　　 五、判断方程根的个数 例7方程

81、x+1

82、+

83、x+99

84、+

85、x＋2

86、

87、＝1996共有（  ）个解． A.．4；B．3；  C．2；  D．1 解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，

88、x+1

89、+

90、x+99

91、＝98，

92、x＋2

93、＜98．此时，

94、x+1

95、+

96、x+99

97、+

98、x＋2

99、＜1996，故

100、x+1

101、+

102、x+99

103、+

104、x＋2

105、＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）． 六、综合应用 例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知

106、x＋2

107、+

108、1－x

109、＝9－

110、y－5

111、－

112、1+y

113、，求x+y最大值与最小值． 解：原方程变形得

114、x＋2

115、+

116、x－1

117、+

118、y－5

119、+

120、y+1

121、

122、＝9， ∵

123、x＋2

124、+

125、x－1

126、≥3，

127、y－5

128、

129、+

130、y+1

131、≥6， 而

132、x＋2

133、+

134、x－1

135、+

136、y－5

137、+

138、y+1

139、＝9， ∴

140、x＋2

141、+

142、x－1

143、＝3，

144、y－5

145、+

146、y+1

147、＝6， ∴－2≤x≤1，－1≤y≤5， 故x+y的最大值与最小值分别为6和－3．