一道自主招生数学试题的多种解法-论文.pdf

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1、·60·中学数学月刊2014年第3期一道自主招生数学试题的多种解法李多敏(江苏省句容高级中学2124OO)2009年清华大学自主招生数学试题中有这样在证法3完成过程中，笔者进一步又产生了以一道题：为实数，且+y一1，求证：对于任意正下三种证法．对于，异号，证法3已给出；对于，都为正的情况，只需证明一个加强命题：n为正实整数』’”+：”≥i．数，且+一1，求证：对于任意正整数，，’+≥这是一道与正整数有关的不等式证明题，而不1等式证明在高中数学竞赛及自主招生考试中经常出‘现，解决这类问题的常用方法有换元法、构造函数证法4由2联想到组合数求和，即∑c一法、展开法、放缩法、

2、数学归纳法及利用几类重要不等式，等等．本文拟从多角度、多方位研究此题，给出2”，故利用排序不等式，对任意是∈N且是≤”，有’”以下几种方法．+≥+’，则∑c：(+)≥证法l原不等式等价于≥()，∑c(+)，从而(+”)·2”≥2(』’+由此联想到琴生不等式．构造函数()一。，只需证明一厂()为下凸函数即可．事实上，厂()-_)--2，即．r+≥．2n(2n—1)j’。≥0，故一_厂()为下凸函数．评注此证法巧妙地利用排序不等式构造了评注该证法从结论人手，对其进行变形、整二项式定理展开的通项，最终达到预想的效果．理，使不等式结构更加对称、和谐，有时会得到意想证法5对加强

3、命题使用数学归纳法．不到的效果．(1)当”一1时，显然成立；当”一2时，．J2+≥证法2由+y一1知，÷，成等差数列，故±．2’可借助公差换元．不妨设≥，则一÷+d，一÷(2)假设一是，不等式成立，即+Ly≥．，≥0，则+y”一(寺+)+(÷一)一下面证明+“≥击，只需证明+≥+clJ(—)一+c)r。+⋯+z，t+1+÷(+y)，即证明2(’“+)≥(+)(-丁+c(÷)(-)+c(÷)。一(-)+⋯+(一)。)，即32+y一一’≥0．而+y。一cry一(一)(—)≥0．命题得证．一+A(A≥o)≥．证法6利用柯西不等式证明证法5的第二步．评注该证法从条件人手，由两

4、数之和为定(1)当”-_1，2时，已证．值，从而联想到利用等差中项换元的方法进行处理，(2)假设≤走，不等式成立．若是为奇数，由柯从而让人有种耳目一新的感觉．西不等式得(⋯+y)(1+1)≥(_1，+y)≥证法3谈到换元法，证法2借助等差中项进行()一；若为偶数，由柯西不等式得(+换元，这里再给出一种常用换元技巧，由z+一1，联想到sina+COSa—1．若，异号(包含一个为零)(+)≥(+)。≥()‘一，故的情况)，则，必有一个不小于1，则’+。≥1+≥．命题得证．>，不等式成立；否则令—COSd，—sind，则评注证法4～6采用加强命题的“欲擒故纵”一，一一——_

5、一，一——_一．令d-—，由出此上亡L回的思想，达到了以简驭繁，提高解题速度的效果．值到证法2．得一提的是，对于很多与正整数有关的命题，数学归评注三角换元，思路自然，简洁流畅．纳法屡试不爽．