正交曲线坐标系中薛定谔方程的张量求法-论文.pdf

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1、2014年第4期毕节学院学报NO．4，2014第32卷JOURNALOFBUIEUNIVERSITYV01．32(总第165期)GeneralNo．165正交曲线坐标系中薛定谔方程的张量求法张凤玲(毕节学院理学院贵州毕节551700)摘要：利用张量分析的方法，给出了一种较为简明的推导在正交曲线坐标中的薛定谔方程形式的方法．并以柱坐标系和球坐标系为例，分别给出与其对应的薛定谔方程．关键词：正交曲线坐标系；薛定谔方程；度规张量中图分类号：04文献标识码：A文章编号：1673—7059(2014)04—0072—061引言Descartes坐标系虽然是

2、比较常用的坐标系，但是在某些问题中为了计算方便起见，有时也需要考虑采用曲线坐标系。在曲线坐标系中常常采用正交曲线坐标系，常见的有平面极坐标系、柱坐标系、球坐标等。因为在直角坐标中运用对应关系，一时，一中的微商是一个普通微商并不需要考虑其协变性，所以Laplace算符可以直接写为V：++鲁．㈩但一中的微商并非在曲线坐标系中也是不变的协变微商，例如如果直接用对应规则pi一得到自由粒子极坐标下的薛定谔方程一旦a七2m(I鲁a+r善aJ就是错误的Ⅲ。所以文献[1]中给出了两种解决方案，一是在位形空间中引入适当度规，以协变微商代替对应关系一中的普通微商；二

3、是沿用喷例”在约定对应关系一只在Descartes坐标系中适用。然而文献[1]考虑一般本科生对协变微商不熟悉，并未对第一种方案给出具体介绍。收稿日期：2014—03—24作者简介：张风玲(1987一)，男，贵州毕节人，毕节学院理学院讲师，硕士。研究方向：粒子物理与原子核物理。·72·对于第一种方案，文献[2]中直接给出了曲线坐标系Laplace算符V的表示式，可进一步给出曲线坐标下的薛定谔方程，但没有给出算符的表示式的推导过程。根据单粒子体系的薛定谔方程在位形空间的一般形式a七：一2v2~z+U(}，(3)m、可知，只要求出动能算符：一旦v中的L

4、ap1ace算符v在正交曲线坐标系中的表示形式，就可以得到正交曲线坐标系中的薛定谔方程。文献[3]和[4]中利用线元给出正交曲线坐标系中Laplace算符V的一般公式，文献[3]在推导过程利用了旋度场，散度场的特征给出了较为简单的正交曲线坐标系中V。的表示方法，但推导过程还是用了右旋标架，反对称张量，度视系数等概念不利于直观理解。本文将利用张量分析给出正交曲线坐标系中Laplace算符的一种推导过程直观、计算过程简单、物理概念清楚的表达式，且算符表达式与文献[2]和[5]中直接给出的形式相同。2正交曲线坐标系中薛定谔方程在欧氏空间E3中，设，，)

5、为在E中某一连通域z上的Descartes坐标系，，u2，u)为z上的曲线坐标系，如图1所示。其中，=1是Descartes坐标基矢，(i=1J3)是A点运动的活动标架。图1·73·在曲线坐标系，u，u。)中，9~_0A=)，对矢径}微分有(4)比较可知(5)引入度规张量a}a}一一(6)gijj一Ouj’结合Descartes坐标系有(7)定显义逆变度规张量为g。若对进行微分，由全微分公式可知II=衍一．∑喳=duj_Fk-duj，(8)：已衍一．．r堕其中r考为联络。显然，根据(7)和(8)可知对缩并的联络有氅T1i1a√ga√g一一(9)其

6、中g=gij)。若对一个函数在曲线坐标系中求梯度有==gVj，(10)则对求散度有V。l}f，=)=V)=VglJV)令a=g(12)可得V=Via．(13)由张量场中绝对微分和协变导数有阳Ⅲiaj-+ak1l～dj，(14)联立(9)，(12)，(13)，(14)有·74·V=击√g(一g]／『．(15)(15)推导得出表达式与文献[2]和[5]中直接给出的形式相同．如果曲线坐标是正交曲线坐标则fO，i≠Jgjj{【g．．，(16)五，1]故正交曲线坐标系中Laplace算符志√glgg。，cl√1／(g丑)封／(17)结合方程(3)和(17)

7、式可得正交曲线坐标系中的薛定谔方程一生(18)t2m√g1麦1g22g33L下面将以常用的两种坐标系即柱坐标系和球坐标系为例，分别给出与其对应的薛定谔方程。3柱坐标系柱坐标系(r，，Z)与Descartes坐标系，，}关系为=rcKx~，=rshO，=Z．根据(7)式可知柱坐标系往，0，Z)中的度规张量是gl1==g33=1，g22r．将度规张量代入(i7)有=辍r+著+毫(r化简后有=鲁a+rar+aaz故柱坐标系中的薛定谔方程为a七=一2m(筹a+rar+r2著a+鲁z]J+u(、’’”在柱坐标系基础上作简化很容易得到平面极坐标系的薛定谔方程

8、。极坐标系{r，)与Descartes坐标系{，x)关系为=rCDS~，=rshO．·75·根据(7)式可知极坐标系r，)中的度规张量是