资源描述：
《用张量数学推导一般曲线坐标系中的弹性力学几何方程.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、仁汉大学学报第卷第期∃%&∋()∗%+∃,)(−.)(/(,01∋2,345%∗67%6!!∀年#月∃&(6!!∀用张量数学推导一般曲线坐标系中的弹性力学几何方程刘超英8江汉大学城建环保系,99:,,,通过张量分析运用(摘要采用拖带坐标系描述法;<,(−3%提出的广义量纲原理总结归纳了推导一般几何曲线坐标系中弹性力学几何方程的基本方法6=拖带=关键词张量坐标广义量纲原理参照坐标系及张量分析的有关概念物体的变形是一种状态的变换,这种变换是由物体几何位形的改变而确定的6为了描述这物体几
2、何位形的改变,必须选定参照坐标系6我们采用拖带坐标系来描述物体的变形状态,即,假想地把此选定的一个参照坐标系嵌含于变形体中变形体的变形将引起该系坐标线的伸缩及曲率的改变6另外,我们再选取一个固定于空间的参照系,这样选择的双重参照系适用于描述变形体的一般空间运动6,在变形体上的某点尸取定一个曲线坐标系变形体中每一点在该系的坐标记为8少:8,>,?,:6在尸点,若固定),中任意两个量而让另一个量变化,可得到通过尸点的一组坐标线6变形体变形后,一般会使该系坐标线的几何形状发生改变,但变形体中每一点相对于
3、该曲线,,,,6≅坐标系的坐标不改变仍为8)‘)“):我们定义这样选定的坐标系称为拖带坐标系,,−‘一8Α一?:奥8:Β口),,−‘−‘切于),坐标线为拖带坐标系的协变基标矢量确定了坐标线),的增值的大小及方向即且指向少增加的一方68:式中‘,,∋>Χ8):,Δ48):ΕΔ,8):Φ8?:,,,尸8Χ4,:是尸点在固定系中的坐标是点相对于固定坐标系的位置矢量我们限定孕共进零翔8:卒)二,)‘,)∃Γ8:收稿≅!!#一9Η一!日期江汉大学学报!!∀年第期,这样将使得拖带坐标系中的点与固定坐
4、标系中的点成一一对应的关系:−、8,并由8式可知二,?,:是线性无关的6,≅在拖带坐标系中空间微弧长可表示为‘<2>!<)8:2·2>,‘<−8:−8、:8−−:丫8Η:式中对8,,:、8Ε:求和6由8:式得到≅(,、”,己ΧΙ己Χ)ΧΙ)Χ’··−社二反一丁ϑ‘一‘:><Ι8#:<)Β石奋二万了石奋沿坐≅标线),的微弧长度为‘<2><)‘了百而,,6,、因而−也称为度规矢量这里−Ε九个量的全体称为度规张量由8Η:式
5、可见度规张量具有,即≅对称性质−心>,−Ε我们可通过式·−‘岁>裂8∀:6‘≅定义拖带坐标系的逆变基标矢量−‘−∀:关系式8∀:称为与的共扼式由8式可求得一+一己),6−一又,石,8Κ:<工Β≅且有,·>−勺−了己),8‘“8!:)Χ阴券,,。Λ,Λ己)己)二Μ一Μ<“)—Χ,’—己Χ−6,≅,Ε也是对称的由8!:式与8#:式可有下述关系式成立),、,,,己己)￡Χ∗)Χ∗、)−’−ΕΑ一轰犷一Μ%∗,石奋舜丽爵89:>截所以,若知道某一度规张量的分量,通过89:式则可求出其共扼度规张量相应的分
6、量6,,空&间任一矢量都可在拖带坐标系的协变式逆变基矢上进行分解取空间一矢量则有&>&渡、>&了8:,“在协变基矢上分解而得的分量叫做逆变分量其在逆变基矢上分解得的分量叫做协变分量668“‘这点我们将在后述的广义量纲原理中给出说明:且&,与都为张量分量在一般曲线坐,,6−、“标系中与−,不一定是单位基矢量其量纲也并非是长度我们将在单位基矢量上进行刘超英用张量数学推导一般曲线坐拯系中的弹性力学几何方程分解&二&畜>&‘忘1、>&‘奋1‘之,6。>。‘丫尹。、>。‘云所得分量百只丫奋为物理分量,,Β
7、从8:式可见−‘是空间点的函数为了讨论其对空间点坐标的变化率我们引入Ν.,∋23%+6,6≅−,+1∗记号可证对坐标),的变化率仍为一矢量且有己!Λ讨6又一丁>!汤8?:口『≅其中,Α一·一∋3Ε合8酷斋豁:厂一·一、告州豁豁豁:分别为第一类和和二类Ν.,∋23%+1∗记号6它们均代表一群量,但在一般情况下它们不是张〔?〕6,∋>“,,Φ,3%++1∗记号具有关于,·量由上式可见匕几∋6Ε即Ν.,∋2‘Ε指标的对称性用张量数字推导力字方程的过程中,我们会提出张量的导数是否构成张量这一问题6
8、为6此,,&≅我们引进协变导数的概念在曲线坐标系中矢量对坐标的偏导数为,Δ“)旦)一材‘’了岛匆一晶心一8:≅,≅由于−是坐标的函数由8?:式可得·&68Δ:“熟“&Ε∋38:≅我们定义6&Φ∗、>&、去Δ&,珠为“,Γ一Γ/一)“矢量的逆变分量扩的协变导数并记为同理也可求出的协变分量的协变导数,≅对协变导数我们作如下说明,矢量的逆变分量或协变分量对坐标的偏导数与其协变导数是不同的前者一般不是张量,后者是张量因为后者反映了基矢的变化在直线直角系中协变导数就
