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1、双曲线参数方程的推导及其应用李遥观哪武汉阅马场中学,。在现行中学数学教材中虽然给出了双曲线方程加以推导,一一的参数方!∀#∃∃伊证明(梦为参数。手爷城!%&∋中。但都未予以证明那么方程中的参数沪的几何意义就不象直线、圆、椭圆、抛物线等参数方程中的参数那)么明确和直观。因此不但给教学带来一些困难,而且学生学了双曲线的参数方程之后也不能用来解决有关。,问题本文主要介绍双曲线参数方程的推导方法并说明它。的应用、砂矿∗尹!的参数方程一双曲线一一一∀0若%1‘!。。,−甲,。落价为参数的推
2、导以坐标原点为圆心导虚轴长2%为直径作辅助圆。、!.&∋中+,4。与实轴交于石3两点过3作辅助圆的切线石5,/证明66355,5作5尸二过原点作射线与交于过平行于轴,二,,与双曲线交于尸点设7点的坐标为+令8石!价乙5在直角△538中35!%&∋俨,,)’+!354’+!%&∋职二4砂矿∗9,将+%&∋梦代入方程一一一!得劣!口:∃;伊所尸9∗9!以双曲线一的参数方程为以坐标原点为圆心,2∀为直径画辅助圆。一一实轴长)二,多,在双曲线上任取一点尸+作轴的垂线垂足为万!挤#∃−梦,,,=二
3、。<过<作辅助圆的切线<5切点为5连85,+%&∋价‘二价。∀,令乙口8<(若%>如图所示占△85<,8
4、“伊的参数方程中的参数的几何意义一二、双曲线Α一为(!李己伽?的参数方程0气%之二之。Β。)∃∃价#为,为参数+!+,Β‘&∋巾。娜4。证明新旧坐标系如图所示)’夕一石&∋伊!一,一‘#∃;伊,万程。的解从而得=%Χ二一万∀丫出3是坐标岁哭,!&∋印Β#∃;中万=+一“∋,Β,声音一夕!二过尸作渐近线立的平行线交渐近线,令尸二方一劫+,!+一+6,,二一二于Χ劣一(6Δ夕一(九!会则方程“急(变为吞那么平行四边形Ε石口尸的面积#为△尸38面积的,,启,)+。二含∀(一%)
5、两倍所以一Φ∀,∃∃护。&∋乡?对于新坐标系尸6+’:!,),&∋,Β。,%“!台#∃−沪Γ)育&#∃−万粤Η∋甲十甲乙石。‘+,!%&∋伊∀%∀%二∃2护2对于原坐标系Ι+#∃一&∋护二‘二万。Β∀#∃∃伊,万沪为参数。,,二Η之+,Β%&∋中。二。二“+为非零的常数为定值二,万半事实上在双曲线上任取一点尸+向轴作垂。,产。+产劣Ι,故此平行四边形的面积为定值线垂足为ϑ并与。交于<设轴与轴交于则。Κ牛!,ϑ!,ΙΒΙϑ!劣。Β,,二军。Β∀#∃∃沪例过双曲线上任意一点引双曲线
6、的切线试似4。+二ϑ尸!ϑ<Β月了尸二夕。Β%&∋沪证由两焦点到这条切线的距离之积为定值才一劣。(一+。()’。双曲线+!的参数方程为∀舍(%万!男。Β∀#∃∃沪≅沪为参变数=+,+。Β%&∋价龙三、双曲线参数方程的应用举例例?一!上任一点作两渐近过双曲线≅≅≅艺‘‘’”’‘’一牛∀答护一”Λ,?一一一一踌。试证它们和两条渐进线围成的平行四边、线的平行线形的。面积为定值4,证明建立坐标系如图所示在双曲线上任取一。。∃。,,二4−,点7沪%&∋沪过7作渐近线+二一立的平证明如图设尸
7、∀叱价%馆梦为双曲线上任一,尸Μ为过)Ε。Ν?,姚分别为两点点曲线的切线患!二Χ4一。,Χ4,,尸Μ。行线交渐近线+之于‘则石点6−6到的距离点坐标为两直线方下转第洲页Ο’,4做完上述证明我们不难得出如下推广月目))·。!≅≅二,,)一一代汀≅一飞二4”班,Β,Β)对于任何凸多边形产击)但需≅七一乙Ρ各角正入)万‘&丁−&∋二叫“&;&∋气∋万∋万。乙乙切有意义此结论成立—4&∋Θ4,&∋月(,&∋左。ΘΣ;刀即Π⋯⋯“&∋万Β&∋万Β&∋万Β&∋百,。。&,Θ,,),”
8、二“ΤΤ玲;&∋万;&∋石()凸多边形中、‘Ν#4,&4,#。Π恤Θ/ΥΘ⋯⋯/ΥΘ琳∋月,,−&)”∋Θ公了;&∋击⋯;&。Θ)。#,’”‘二;8:荟卫6。−,万。了,Θς、小#∃,二))&∋万“”&∋Ω∃万∃Ρ三6Π∃,#Θ/≅−,#)∃,#Υ、岭‘毛Θ“4)”Θ)),))。ΘΘ,Θ)Ξ、Α,Κ的整数已6会冷了“Ψ万,“Ψ,”’‘“#Ψ不厂(ΤΖ、万,。不等时亦成立证明略,Κ的整数4,’例不含直角的凸四边形中4,4例△求祀中可证)∃,&∋ΘΒ&Β&,;Β’∋Ι≅#2
