直线的参数方程及其应用(学案).pdf

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1、.直线的参数方程及应用目标点击:1.掌握直线参数方程的标准形式和一般形式,理解参数的几何意义;2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化;3.利用直线的参数方程求线段的长,求距离、求轨迹、与中点有关等问题;基础知识点击:1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是xx0tcos(t为参数)t的几何意义:t表示有向线段P0P的数量,P(x,y)yy0tsinP0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点,所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=t2-t1∣P1P2∣=∣t2-t1∣

2、(3)若P1、P2、P3是直线上的点,所对应的参数分别为t1、t2、t3t1t2t1t2则P1P2中点P3的参数为t3=,∣P0P3∣=22(4)若P0为P1P2的中点,则t1+t2=0,t1·t2<02、直线参数方程的一般式b过点P0(x0,y0),斜率为k的直线的参数方程是axx0at(t为参数)yy0bt点击直线参数方程:一、直线的参数方程问题1:(直线由点和方向确定)l求经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程.yP(x,y)设点P(x,y)是直线l上任意一点,(规定向上的方向为直线L的正方向)过点P作y轴的平行线,过P0Q

3、P0作x轴的平行线,两条直线相交于Q点.x与直线l同方向或P01)当P0P0和P重合时,P0P=

4、P0P

5、则P0Q=P0PcosQP=P0Psin2)当P0P与直线l反方向时,P0P、P0Q、QP同时改变符号lP0yP0P=-

6、P0P

7、P0Q=P0PcosQP=P0Psin仍成立设P0P=t,t为参数,P(x,y)又∵P0Q=xx0,xx0=tcosQx0'..QP=yy0∴yy0=tsinxx0tcos即是所求的直线l的参数方程yy0tsin∵P0P=t,t为参数,t的几何意义是:有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点P(x,y)的有向线

8、段的数量,且

9、P0P

10、=

11、t

12、①当t>0时,点P在点P0的上方;②当t=0时,点P与点P0重合;③当t<0时,点P在点P0的下方;xx0t特别地,若直线l的倾斜角=0时,直线l的参数方程为yyy0④当t>0时,点P在点P0的右侧;P0P(x,y)⑤当t=0时,点P与点P0重合;l⑥当t<0时,点P在点P0的左侧;x0问题2:直线l上的点与对应的参数t是不是一l对应关系?y我们把直线l看作是实数轴,P0以直线l向上的方向为正方向,以定点P0为原点,以原坐标系的单位长为单位长,Px这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了0一一对应关系.问题3:P1、

13、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=?,∣P1P2∣=?P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1,∣P1P2∣=∣t2-t1∣问题4:若P0为直线l上两点P1、P2的中点,P1、P2所对应的参数分别为t1、t2,则t1、t2之间有何关系?ly根据直线l参数方程t的几何意义,P2P1P=t1,P2P=t2,∵P0为直线lP0上两点P1、P2的中点,∴

14、P1P

15、=

16、P2P

17、P1P=-P2P,即t1=-t2,t1t2<0P1x一般地,若P1、P2、P3是直线l上的点,0所对应的参数分别为t1、t2、t3,P3为P

18、1、P2的中点t1t2则t3=(∵P1P3=-P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义,2∴P1P3=t3-t1,P2P3=t3-t2,∴t3-t1=-(t3-t2,))基础知识点拨:1、参数方程与普通方程的互化'..例1:化直线l1的普通方程x3y1=0为参数方程,并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解:令y=0,得13x=1,∴直线l1过定点(1,0).k=-=-333531设倾斜角为,tg=-,=,cos=-,sin=36223l1的参数方程为x1t(t为参数)21yt2t是直线l1上定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有

19、向线段M0M的数3222量.由x1t(1)(1)、(2)两式平方相加,得(x1)yt21yt(2)222∣t∣=(x1)y∣t∣是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段MM的长.0点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义.x3t例2:化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,y13t说明∣t∣的几何意义.x3t(1)解:原方程组变形为(1)代入(2)消去参数t,y13t(2)得y13(x3)(点斜式)可见k=3,tg=3,倾斜角=3普通方程为3xy331022222(x3)(y1)(1)、(2

20、)两式平方相加,得(x3)(y1)4t∴∣t∣=2∣t∣是定点M0(3,1)到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长的一半.点拨:注意在例1、例2

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