直线的参数方程及其应用

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1、直线的参数方程及其应用江苏省丹阳高级中学杨松扣在必修本和选修本中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t是

2、参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为(t是参数)，∵A到直线l的距离d=，∴t=AA'=，代入直线的参数方程得A'(−，)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二、求解中点问题例3．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。3解：设M(x0，y0

3、)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的距离例4．直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入2x+y−2=0得t'=，∴PQ=

4、t'

5、=。点评：题

6、目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例5．经过点P(−1，2)，倾斜角为的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2+t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=−，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=

7、t1

8、+

9、t2

10、=

11、t1−t2

12、==3，PA·PB=

13、t1·t2

14、=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。四、求直线与曲线相交弦的长例6

15、．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B3两点，求证：。分析：弦长AB=

16、t1−t2

17、。解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：，∴AB=

18、t1−t2

19、===。例7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或

20、t1

21、=2

22、t2

23、。解：设椭圆方程为，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2+a

24、2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，则，①2×2+②得：，将b2=a2−c2代入，8c2=3a2+a2−c2，得，故e=。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。3